Изменения

Рассмотрим произвольную схему из [[Классы NC и AC| класса]] <tex>\mathrm{AC^0}</tex>. Допустим, что эта схема распознает язык <tex>\oplus</tex>. В силу особенности языка <tex>\oplus</tex>, распознающая его схема должна зависить от значений всех своих входов. Однако воспользовавшись леммой, можно с вероятностью, отличной от нуля, представить эту схему в виде <tex>k</tex>-КНФ или <tex>k</tex>-ДНФ, причем <tex>k</tex> не зависит от числа входов схемы. Поскольку рассматриваем схему из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex>, то по определению степень входа не ограничена. Рассмотрим содержательный случай, когда <tex>k</tex> меньше числа входов схемы. Заметим, что значение <tex>k</tex>-КНФ или <tex>k</tex>-ДНФ можно сделать постоянным, зафиксировав значение не более, чем <tex>k</tex> входов. Для этого достаточно зафиксировать значение лишь одного дизъюнкта или конъюнкта соответственно. Если с вероятностью <tex>\frac{1}{2}</tex> входу полученной схемы назначается значение, то с вероятностью не менее <tex>\frac{1}{2^k}</tex> значение схемы будет постоянным. Поскольку эта вероятность представить произвольную схему больше нуля, то для произвольной схемы из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> в таком виде отлична от нуля, то можно подобрать значения для части входов так, чтобы значение схемы не зависело от значений на оставшихся входах. А значитфункции было постоянным, поэтому ни одна схема из этого класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> не распознает может распознавать язык <tex>\oplus</tex>, поскольку зависит не от всех входных значений.