66
правок
Изменения
Нет описания правки
|statement=Пирамидальная сортировка и сортировка слиянием являются асимптотически оптимальными сортировками сравнением.
|proof=Верхние границы <tex> O(n \log n) </tex> времени работы пирамидальной сортировки и сортировки слиянием совпадают с нижней границей <tex>\Omega(n \log n)</tex> для наихудшего случая из теоремы о нижней границе для сортировки сравнениями.
}}
|statement=Не существует алгоритма добавления элемента в упорядоченный массив с сохранением порядка, за истинное время $\mathcal{o}(\log n)$, где $n$ {{---}} количество элементов в массиве,
|proof=Допустим, есть такой алгоритм. Тогда создадим пустой массив и будем последовательно добавлять в него элементы массива, который хотим отсортировать. В итоге на выходе алгоритма получим отсортированный массив.
Тогда сравнений будет $\mathcal{o}(\log 1) + \mathcal{o}(\log 2) + \ldots + \mathcal{o}(\log{(n-1)}) = \mathcal{o}(n\log n)$. Но теорема утверждает, что их должно быть $\Omega(n\log n)$.
}}
{{Утверждение
|statement=Не существует структуры данных, которая одновременно поддерживает добавление элементов и извлечение минимума за амортизированное время <tex> \mathcal{o}(\log n) </tex>.
|proof=Если бы такая структура существовала, то с её помощью можно было бы отсортировать все элементы за амортизированное время <tex>\mathcal{o}(n \log{n})</tex> {{---}} добавить все элементы,
а затем извлечь минимальный <tex>n</tex> раз. Можно заметить, что теореме даётся оценка на истинную нижнюю границу, а в данном утверждении фигурирует амортизированное время.
Но этот факт не является проблемой, так как амортизированное время <tex> \mathcal{o}(\log n) </tex> на одну операцию в случае <tex> n </tex> операций даст суммарное истинное время <tex> \mathcal{o}(n \log n) </tex>.
}}
== См. также ==
* [[Сортирующие_сети]]
* [[Быстрая_сортировка]]
* [[Двоичная_куча]]
==Источники информации==
