Теорема о поглощении — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
  
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>P</tex> - матрица переходов, где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - несущественные состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - существенные.(т.к. цепь поглощающая, то из любого несущественного можно попасть в существенное) <tex>I</tex> - единичная матрица.
+
Пусть <tex>P</tex> - матрица переходов, где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - несущественные состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - существенные (т.к. цепь поглощающая, то из любого несущественного можно попасть в существенное). <tex>I</tex> - единичная матрица.
  
 
<tex>P = \begin{pmatrix}
 
<tex>P = \begin{pmatrix}
Строка 30: Строка 30:
 
=
 
=
 
\begin{pmatrix}
 
\begin{pmatrix}
Q^2 & R \\         
+
Q^2 & X \\         
 
0 & I
 
0 & I
 
\end{pmatrix}</tex> .
 
\end{pmatrix}</tex> .

Версия 23:42, 9 декабря 2011

Теорема (о поглощении):
С вероятностью, равной [math]1[/math], марковская цепь перейдет в поглощающее состояние, если у нее существует такое состояние.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]P[/math] - матрица переходов, где элемент [math]p_{ij}[/math] равен вероятности перехода из [math]i[/math]-го состояния в [math]j[/math]-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где [math]Q[/math] - несущественные состояния, а [math]R[/math] и [math]I[/math] - существенные (т.к. цепь поглощающая, то из любого несущественного можно попасть в существенное). [math]I[/math] - единичная матрица.

[math]P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math]

Пусть вектор [math]c^{(t)}[/math] - вектор вероятности нахождения на шаге [math]t[/math]. Он вычисляется, как произведение вектора на нулевом шаге на матрицу перехода в степени [math]t[/math]. [math] c^{(t)} = c^{(0)} * P^t[/math] Рассмотрим, что представляет из себя возведение матрицы [math]P[/math] в степень:

для [math]t = 1[/math] : [math]\begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q^2 & X \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] .

Отсюда видно, что [math]P^n[/math] имеет такой вид: [math]\begin{pmatrix} Q^n & X \\ 0 & I \end{pmatrix}[/math] , где [math]X[/math] - некоторые значения.

Следовательно нам надо доказать, что [math]Q^n \xrightarrow{} 0[/math], при [math] n\xrightarrow{}+\infty[/math]

Рассмотрим путь из i-го состояния в поглощающее, равное [math]m_i[/math]. Пусть [math]p\lt 1[/math] - вероятность того, что через [math]m_i[/math] шагов из шага i не попадет в поглощающее состояние. Пусть [math]m = max(m_i)[/math], а [math]p = max(p_i)\lt 1[/math]

Тогда получаем: [math]\sum_{j} {Q^m_{ij}}\leqslant p[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\sum_{j} {Q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0[/math]

В итоге получаем, что несущественные состояния стремятся к [math]0[/math], а значит существенные в итоге приходят к [math]1[/math], т.е. цепь приходит в поглощающее состояние.
[math]\triangleleft[/math]