78
правок
Изменения
м
Заменил дефисы на тире
\end{pmatrix}</tex> ,
где <tex>I</tex> - — единичная матрица (<tex>r \times r</tex>), <tex>0</tex> – — нулевая матрица (<tex>r \times t</tex>), <tex>R</tex> – — ненулевая поглощающая матрица (<tex>t \times r</tex>) и <tex>Q</tex> - — непоглощающая (<tex>t \times t</tex>). Первые <tex>t</tex> состояний переходные и последние <tex>r</tex> состояний поглощающие.
}}
|proof=
Пусть <tex>P</tex> - — [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Приведем ее в каноническую форму:
Пусть вектор <tex>c^{(t)}</tex> - — вектор вероятности нахождения на шаге <tex>t</tex>.
Он вычисляется, как произведение вектора на нулевом шаге на матрицу перехода в степени <tex>t</tex>.
<tex> c^{(t)} = c^{(0)} \times P^t</tex>
\end{pmatrix}</tex> .
Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> - — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).
Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой вид: <tex>\begin{pmatrix}
Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное <tex>j</tex>. Пусть <tex>p<1</tex> - — вероятность того, что через <tex>m_i</tex> шагов из шага <tex>i</tex> не попадет в поглощающее состояние.
Пусть <tex>m = \max(m_i)</tex>, а <tex>p = \max(p_i)< 1</tex>
