Изменения

|statement=С Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь|марковская цепь]] перейдет в [[Расчет вероятности поглощения в состоянии#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]], если у нее существует такое состояние.

Пусть <tex>P</tex> - — [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - несущественные состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - существенные (т.к. цепь поглощающая, то из любого несущественного можно попасть Приведем ее в существенное). <tex>I</tex> - единичная матрица.каноническую форму:

Пусть вектор <tex>c^{(t)}</tex> - — вектор вероятности нахождения на шаге <tex>t</tex>.

<tex>P^{2} =</tex><tex>\begin{pmatrix}

<tex>(</tex>Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>(I \times I = I);</tex> ); <tex>X</tex> - — некоторые значения<tex>(не важны для доказательства теоремы, так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).</tex>

Отсюда видноПродолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой следующий вид: <tex>\begin{pmatrix}

\end{pmatrix}</tex> . Докажем, где что <tex>XQ^n \xrightarrow{} 0</tex>, при <tex> n\xrightarrow{}+\infty</tex> - некоторые значения.

Рассмотрим путь из i-го состояния Теперь обобщим в поглощающее, равное большую сторону для любого количества шагов: пусть <tex>m_ip = \max(p_{m})< 1</tex>. Пусть В таком случае <tex>p<1</tex> - — наибольшая вероятность того, что через <tex>m_i</tex> шагов из шага <tex>i</tex> не попадет попасть в поглощающее состояние.Пусть <tex>m = max(m_i)j</tex>, а совершив при этом не более чем <tex>p = max(p_i)< 1m</tex>шагов.

Тогда получаем: вероятность перехода в состояние <tex>\sum_{j} {Q^m_{ij}}\leqslant p</tex> на шаге <tex>\Rightarrowm</tex> равна <tex>p_{m} = \sum_sum\limits_{j} {Qq^{mkm}_{ij}}\leqslant p</tex>, где <tex>q_{ij}^k\xrightarrow{k\xrightarrowm}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}+\infty}0</tex>.

В то же время, <tex>\sum\limits_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получим: <tex>\sum\limits_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex> В итоге получаем, что несущественные непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит существенные поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.