Изменения

Квадратные матрицы, для которых выполняются следующие условия::Матрицу <tex>0 < p_{ij} < 1Q</tex>:называют '''непоглощающей''' (англ. ''not-absorbing''), если она не содержит поглощающих состояний. То есть <tex>\sum\limits_q_{j = 1ii}^{k} p_{ij} = \neq 1 ~~~ (, \forall i = 1, 2, ..., k)</tex>называются '''стохастическими'''.

Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> [[Марковская цепь#Поглощающая цепь|поглощающими состояниями]] и <tex>t</tex> непоглощающими, можно перевести в '''каноническую форму'''Канонической формой матрицы цепи Маркова(англ. ''canonical form', является матрица вида'):

\end{pmatrix}</tex>, где <tex>I - </tex> — единичная матрица(<tex>r \times r</tex>), <tex>0 –нулевая </tex> — нулевая матрица(<tex>r \times t</tex>), <tex>R – </tex> — ненулевая поглощающая матрица (<tex>t \times r</tex>) и <tex>Q - </tex> — непоглощающая(<tex>t \times t</tex>). Первые <tex>t</tex> состояний переходные и последние <tex>r</tex> состояний поглощающие.

|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]].

Пусть <tex>P</tex> - — [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - непоглощающие состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - поглощающие (т.к. цепь поглощающая, то из любого непоглощающего можно попасть Приведем ее в поглощающее). <tex>I</tex> - единичная матрица.каноническую форму:

Пусть вектор <tex>c^{(t)}</tex> - — вектор вероятности нахождения на шаге <tex>t</tex>.

Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> - — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).

Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой следующий вид: <tex>\begin{pmatrix}

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное состояние <tex>m_ij</tex>. Пусть мы совершили <tex>m</tex> шагов из состояния <tex>i</tex>p, тогда обозначим <1tex>p_{m}</tex> - — вероятность тогопопасть в поглощающее состояние <tex>j</tex> за такое количество шагов. Заметим, что через <tex>m_ip_{m} < 1</tex>  Теперь обобщим в большую сторону для любого количества шагов из шага : пусть <tex>p = \max(p_{m})< 1</tex>. В таком случае <tex>ip</tex> не попадет — наибольшая вероятность попасть в поглощающее состояние<tex>j</tex>, совершив при этом не более чем <tex>m</tex> шагов.Пусть Тогда вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>p_{m } = max(m_i)\sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, а где <tex>q_{ij}^{m}</tex>p = max(p_i)— элемент матрицы < 1tex>Q^{m}</tex>.

Тогда получаем: В то же время, <tex>\sum_sum\limits_{j} {Qq^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \Rightarrowinfty</tex> , получим: <tex>\sum_sum\limits_{j} {Qq^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>

В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.