Изменения

Матрицу <tex>Q</tex> называют '''непоглощающей'''(англ. ''not-absorbing''), если она не содержит поглощающих состояний. То есть <tex>\forall i : q_{ii} \neq 1, \forall i </tex>

Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> [[Марковская цепь#Поглощающая цепь|поглощающими состояниями]] и <tex>t</tex> непоглощающими, можно перевести в '''каноническую форму'''(англ. ''canonical form''):

|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]].

Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).

Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой следующий вид: <tex>\begin{pmatrix}

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное состояние <tex>j</tex>. Пусть мы совершили <tex>p<1m</tex> — вероятность того, что через шагов из состояния <tex>m_ii</tex> шагов из шага , тогда обозначим <tex>ip_{m}</tex> не попадет — вероятность попасть в поглощающее состояние.Пусть <tex>m = \max(m_i)j</tex>за такое количество шагов. Заметим, а что <tex>p = \max(p_i)p_{m} < 1</tex>

Тогда получаемТеперь обобщим в большую сторону для любого количества шагов: пусть <tex>p = \sum_max(p_{jm} {Q^m_{ij}}\leqslant )< 1</tex>. В таком случае <tex>p</tex> — наибольшая вероятность попасть в поглощающее состояние <tex>\Rightarrowj</tex> , совершив при этом не более чем <tex>\sum_{j} {Q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0m</tex>шагов.

Тогда вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>p_{m} = \sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>.  В то же время, <tex>\sum\limits_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получим: <tex>\sum\limits_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex> В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.