Изменения

Матрицу <tex>Q</tex> называют '''непоглощающей'''(англ. ''not-absorbing''), если она не содержит поглощающих состояний. То есть <tex>\forall i : q_{ii} \neq 1, \forall i </tex>

Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> [[Марковская цепь#Поглощающая цепь|поглощающими состояниями]] и <tex>t</tex> непоглощающими, можно перевести в '''каноническую форму'''(англ. ''canonical form''):

|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]].

Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное состояние <tex>j</tex>. Пусть мы совершили <tex>p_{i}<1m</tex> — вероятность того, что через шагов из состояния <tex>m_ii</tex> шагов из шага , тогда обозначим <tex>ip_{m}</tex> не попадет — вероятность попасть в поглощающее состояние.Пусть <tex>m = \max(m_i)j</tex>за такое количество шагов. Заметим, а что <tex>p = \max(p_i)p_{m} < 1</tex>

Тогда вероятность перехода Теперь обобщим в состояние большую сторону для любого количества шагов: пусть <tex>jp = \max(p_{m})< 1</tex> на шаге . В таком случае <tex>mp</tex> равна — наибольшая вероятность попасть в поглощающее состояние <tex>\sum_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где совершив при этом не более чем <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>шагов.

В то же время, Тогда вероятность перехода в состояние <tex>\sum_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex>. Возведем обе части в степень на шаге <tex>k \rightarrow \inftym</tex>, получим: равна <tex>p_{m} = \sum\sum_limits_{j} {q^{mkm}_{ij}}\leqslant p</tex>, где <tex>q_{ij}^k\xrightarrow{k\xrightarrowm}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}+\infty}0</tex>.

В то же время, <tex>\sum\limits_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получим: <tex>\sum\limits_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex> В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.

== Литература См.также ==* [[Марковская цепь]]* [[Эргодическая марковская цепь]]* [[Регулярная марковская цепь]] == Источники информации ==* ''Дж. Кемени, Дж. Снелл '' — "Конечные цепи Маркова", издание "Наука", 1970г., стр. 62