Изменения

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее состояние <tex>j</tex>. Рассмотрим марковскую цепь через Пусть мы совершили <tex>m</tex> шагов. Пусть из состояния <tex>p_{i}<1</tex> — вероятность того, что через тогда обозначим <tex>m_ip_{m}</tex> шагов из состояния <tex>i</tex> мы не попадем — вероятность попасть в поглощающее состояние.Теперь обобщим в большую сторону для всех состояний <tex>ij</tex>: пусть за такое количество шагов. Заметим, что <tex>p_{m = \max(m_i)</tex>, а <tex>p = \max(p_i)} < 1</tex>

Тогда вероятность перехода Теперь обобщим в состояние большую сторону для любого количества шагов: пусть <tex>jp = \max(p_{m})< 1</tex> на шаге . В таком случае <tex>mp</tex> равна — наибольшая вероятность попасть в поглощающее состояние <tex>\sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где совершив при этом не более чем <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>шагов.

Тогда вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>p_{m} = \sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>.  В то же время, <tex>\sum\limits_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получим: <tex>\sum\limits_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>