Изменения

Пусть '''''P''''' - матрица переходов, где элемент <mathtex>p_{ij}</mathtex> равен вероятности перехода из i-го состояния в j-ое, а <mathtex>p^{(t)}</mathtex> вектор вероятностей нахождения в определенном состоянии на шаге ''t'', тогда, если все элементы матрицы переходных состояний '''''P''''' положительны, то при ''t'' , стремящимся к бесконечности, вектор <mathtex>p^{(t)}</mathtex> стремится к вектору <mathtex>\bar p</mathtex>, являющемуся единственному решению системы <mathtex>p \times P</math> <math>=</math> <math> p </mathtex>

Обозначим через ''d'' минимальный элемент матрицы '''''P''''' (''d''>0). Введем функцию ''f'', переводящую вероятностный вектор в другой: <mathtex>f=p \times P</mathtex>. Отображение ''f'' сжимающиеся, т.е. отношение "расстояния" между ''f(p)'' и ''f(q)'' к расстоянию между векторами p и q не превосходит, некоторого ''R'' (''R''<1).

Пусть расстояние между ''p'' и ''q'' равно: <mathtex>r(p,r) = \sum_{i} {|p_i - q_i|}</mathtex>

Введем матрицу '''''D''''', элементы которой на ''d'' меньше, чем у '''''P'''''. Тогда <mathtex>f(p) = p \times 1 + p \times D</mathtex>. Таким образом <mathtex>f(p) - f(q) = {(p- q)} \times D</mathtex>.

<mathtex>r(f(p), f(q)) = \sum_{i} {|\sum_{j}{p_j D_{ji}} - \sum_{j}{q_i D_{ji}}|} <= \sum_{i}{\sum_{j}{D_{ij}|p_j - q_j|}} = r(p,q) * (1- md)</mathtex>

Где <mathtex>(1-md)< 1</mathtex>, следовательно оно равно ''R''.

В итоге получаем <mathtex>r(pP,qP)\leqslant R \times r(p,q)</mathtex>, из которого следует для любого ''n'' <mathtex>r(pP^n,qP^n)\leqslant R^n \times r(p,q)</mathtex>. Отсюда получаем сходимость <mathtex>p^{(0)}P^n</mathtex>. И переходя в исходном уравнении к пределу в итоге получаем уравнение для предельного вектора <mathtex>\bar p</mathtex> : <mathtex>\bar p = \bar p P</mathtex>.

Единственность решения для уравнения следует из этого же неравенства. Если <mathtex>p_1</mathtex> и <mathtex>p_2</mathtex> решения системы, то получаем <mathtex>r(p_1,p_2)=(r(p_1P,p_2P)\leqslant R \times r(p_1,p_2)</mathtex>, что возможно только при совпадении этих решений.