78
правок
Изменения
Чуть подробнее расписал рассуждения в конце
Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное <tex>j</tex>. Пусть <tex>pp_{i}<1</tex> — вероятность того, что через <tex>m_i</tex> шагов из шага <tex>i</tex> не попадет в поглощающее состояние.
Пусть <tex>m = \max(m_i)</tex>, а <tex>p = \max(p_i)< 1</tex>
Тогда получаем: вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>\sum_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>. В то же время, <tex>\sum_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex> . Возведем обе части в степень <tex>k \Rightarrowrightarrow \infty</tex> , получим: <tex>\sum_{j} {Qq^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>
В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. цепь приходит в поглощающее состояние.
