'''{{Теорема''': любая |id=th2|about=о подгруппах циклической группы|statement=Любая [[подгруппа ]] <mathtex>H</mathtex> [[циклическая группа|циклической группы ]] <mathtex>G</mathtex> сама является циклической группой.=== Доказательство ==|proof=Все элементы группы <mathtex>G</mathtex> с образующей <mathtex>a</mathtex> представимы в виде <mathtex>a^n</mathtex>. Предположим, что <mathtex>H</mathtex> нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое <mathtex>n</mathtex>, что <mathtex>a^n\in H</mathtex> и положим <mathtex>a^n=b</mathtex>. Пусть теперь есть некоторое <mathtex>c\in H</mathtex>. Раз <mathtex>c\in H\subseteq G</mathtex>, то <mathtex>c=a^m</mathtex> для некоторого <mathtex>m</mathtex>. Имеем <mathtex>m=k\cdot n+r</mathtex>, где <mathtex>r<n</mathtex>. Вместе с <mathtex>b</mathtex> и <mathtex>c</mathtex> H содержит и <mathtex>b^{-k}\cdot c=a^r</mathtex>. Поэтому если <mathtex>r\neq 0</mathtex>, то <mathtex>n</mathtex> {{-- -}} не минимальное ненулевое число, что <mathtex>a^n\in H</mathtex>. Таким образом, необходимо <mathtex>r=0</mathtex>. Значит, все элементы <mathtex>H</mathtex> представимы в виде <mathtex>b^m</mathtex> для некоторого <tex>m</tex>, что и означает, что <mathtex>H</mathtex> {{--- }} циклическая группа.}} == Ссылки ==[http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/65/book65_9.pdf Нормальное доказательство] [[Категория: Теория групп]]
