| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | ==Теорема о рекурсии== | + | {{В разработке}} |
| − | | + | ==Теорема о рекурсии== |
| − | Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
| + | Говоря неформально, теорема о рекурсии позволяет утверждать, что любая программа может использовать внутри себя свой исходный код (номер), который ей передали в качестве параметра. |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| | |id=th1 | | |id=th1 |
| − | |author=Клини
| + | |about=О рекурсии |
| − | |about=о рекурсии / ''Kleene's recursion theorem'' | + | |statement=Для <tex>\forall</tex> вычислимой функции от двух аргументов <tex>V(x, y)</tex> <tex>\exists</tex> вычислимая функция <tex>r(y) : r(y) = V(r, y).</tex> |
| − | |statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>. | |
| − | |proof=
| |
| − | Приведем конструктивное доказательство теоремы.
| |
| − | | |
| − | Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>:
| |
| − | '''program int''' p('''int''' x):
| |
| − | ...
| |
| − |
| |
| − | '''int''' main():
| |
| − | ...
| |
| − |
| |
| − | ...
| |
| − | Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
| |
| − | | |
| − | Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так:
| |
| − | '''program string''' p('''string''' y):
| |
| − | '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
| |
| − | ...
| |
| − |
| |
| − | '''string''' main():
| |
| − | '''return''' V(getSrc(), y)
| |
| − |
| |
| − | '''string''' getSrc():
| |
| − | ...
| |
| − | Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.
| |
| − | | |
| − | '''program string''' p('''string''' y):
| |
| − | '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
| |
| − | ...
| |
| − |
| |
| − | '''string''' main():
| |
| − | '''return''' V(getSrc(), y)
| |
| − |
| |
| − | '''string''' getSrc():
| |
| − | '''string''' src = getOtherSrc()
| |
| − | '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font>
| |
| − | <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font>
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> return $src```
| |
| − |
| |
| − | '''string''' getOtherSrc():
| |
| − | ...
| |
| − | | |
| − | Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:
| |
| − | <code>
| |
| − | '''program string''' p('''string''' y):
| |
| − | '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):
| |
| − | ...
| |
| − |
| |
| − | '''string''' main():
| |
| − | '''return''' V(getSrc(), y)
| |
| − |
| |
| − | '''string''' getSrc():
| |
| − | '''string''' src = getOtherSrc()
| |
| − | '''return''' ```$src
| |
| − | <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> return $src```
| |
| − |
| |
| − | '''string''' getOtherSrc():
| |
| − | '''return''' ```function p(int y):
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> int V(string x, int y):
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> ...
| |
| − | <nowiki>|</nowiki>
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> int main():
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y)
| |
| − | <nowiki>|</nowiki>
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> string getSrc():
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc()
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> return \```$src
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():
| |
| − | <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```
| |
| − | </code>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
| |
| − | | |
| − | Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
| |
| − | | |
| − | ==Теорема о неподвижной точке==
| |
| − | Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | {{Лемма
| |
| − | |statement= Для всякой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g</tex>, являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением.
| |
| − | |proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex> V(n, x) = U(f(n), x)</tex>. Так как <tex>V</tex> — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>s(n)</tex> такая, что: <tex>V(n, x) = U(s(n), x)</tex>.
| |
| − | | |
| − | Покажем, что <tex>s(n)</tex> будет являться <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(n)</tex>. Если <tex>f(n)</tex> определено, то <tex>s(n)</tex> вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(n)</tex> не определено, то <tex>s(n)</tex> вернет номер нигде не определенной функции.
| |
| − | Таким образом, мы нашли <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex>.
| |
| − | }}
| |
| − | {{Теорема
| |
| − | |id=th2
| |
| − | |author=Роджерс
| |
| − | |about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''
| |
| − | |statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> — номера одной функции.
| |
| | |proof= | | |proof= |
| − | Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.
| + | Пусть <tex>V(x,y)</tex> - любая вычислимая функция. Напишем программу для r(y). |
| | | | |
| − | Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.)
| + | <code><font size = "3em"> |
| − | | + | 01: r(y){ |
| − | Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.
| + | 02: V(x,y); |
| | + | 03: |
| | + | 04: main() { |
| | + | 05: return V(getSrc(), y) |
| | + | 06: } |
| | + | 07: |
| | + | 08: string getSrc() { |
| | + | 09: string tmp = getOtherSrc(); |
| | + | 10: return (tmp + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + tmp + "\n" + "}"; |
| | + | 11: } |
| | + | 12: |
| | + | 13: string getOtherSrc() { |
| | + | 14: return /* весь код до функции getOtherSrc() */ |
| | + | 15: } |
| | + | 16: } |
| | + | </font></code> |
| | }} | | }} |
| | + | '''Замечание:''' программа r(y) печатает свой текст. Она написана в соответствии со следующей неформальной инструкцией: |
| | | | |
| − | | + | Напечатать два раза, второй раз в кавычках, такой текст: "Напечатать два раза, второй раз в кавычках, такой текст:" |
| − | {{Утверждение
| + | ==Источники== |
| − | |id=идентификатор (необязательно), пример: proposalF.
| + | Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999 |
| − | |statement = <tex> \exists n : W_n = \{n\} </tex>, где <tex> W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex> n </tex>.
| |
| − | |proof=
| |
| − | По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
| |
| − | Напишем такую программу:
| |
| − | | |
| − | <tex>p(q){:}</tex>
| |
| − | '''if''' <tex>p.\mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q.\mathrm{getSrc()}</tex>
| |
| − | '''return''' 1
| |
| − | '''else'''
| |
| − | '''while''' ''true''
| |
| − | | |
| − | Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве неразрешимости языка==
| |
| − | Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.
| |
| − | {{Лемма
| |
| − | |id=st2
| |
| − | |statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Предположим обратное. Тогда существует программа <tex>r</tex>, разрешающая <tex>L</tex>.
| |
| − | Рассмотрим следующую программу:
| |
| − | | |
| − | p(x):
| |
| − | '''if''' r(getSrc())
| |
| − | '''return''' 1
| |
| − | '''while''' ''true''
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex>p(\varepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\varepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\varepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\varepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ==См. также==
| |
| − | *[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]]
| |
| − | | |
| − | ==Источники информации== | |
| − | * [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]
| |
| − | * ''Верещагин Н. К., Шень А.'' '''Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции''' — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
| |
| − | * ''Kleene, Stephen'' '''On notation for ordinal numbers''' - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155
| |
| − | | |
| − | [[Категория: Теория формальных языков]]
| |
| − | [[Категория: Теория вычислимости]]
| |
| − | [[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]
| |
