Изменения

==Теорема о рекурсии==Давайте рассмотрим Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов - — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.

|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.

 Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>: '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... ...Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента. Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''functionprogram string''' p('''Tstring''' y): '''Tstring''' V('''Tstring''' x, '''Tstring''' y):

'''voidstring''' main():

Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.   '''functionprogram string''' p('''Tstring''' y): '''Tstring''' V('''Tstring''' x, '''Tstring''' y):

'''voidstring''' main():

'''return''' ```$src + <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color=" + "\n" + green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return" + $src + "\n";``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:<code> '''functionprogram string''' p('''Tstring''' y): '''Tstring''' V('''Tstring''' x, '''Tstring''' y):

'''voidstring''' main():

'''return''' ```$src + " <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():" + "\n" + " <nowiki>|</nowiki> return" + $src + "\n";```

'''return''' "```function p('''T''' int y): <nowiki>|</nowiki> int V('''T''' string x, '''T''' int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```</code>}}

main(): return V(getSrc(), y) string getSrc(): string src = getOtherSrc(); return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n;";}}}Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x </tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.

|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением(<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.

|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> - — номера одной функции.

Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> - — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.

'''if''' <tex>r(\mathrm{getSrc()})</tex>

'''while''''' true''