54
правки
Изменения
м
Приведем конструктивное доказательство теоремыВсе входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''.Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''functionprogram string''' p('''intstring''' y): '''intstring''' V('''string''' x, '''intstring''' y):
main(): return V(getSrc(), y) string getSrc(): string src = getOtherSrc() return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n"}}}Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x </tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код.
→Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве о неразрешимости языка
==Теорема о рекурсии==
Рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, y)</tex>. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.
|proof=
Приведем конструктивное доказательство теоремы. Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''functionprogram''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>: '''functionprogram int''' p('''int''' x):
...
...
Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> - это — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента.
...
'''intstring''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)
'''string''' getSrc():
...
Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так. '''functionprogram string''' p('''intstring''' y): '''intstring''' V('''string''' x, '''intstring''' y):
...
'''intstring''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)
'''string''' getSrc():
'''string''' src = getOtherSrc()
'''return''' ```$src <font color="green"\(src) >// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():\n <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return $src\n"```
'''string''' getOtherSrc():
...
Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:<code> '''functionprogram string''' p('''intstring''' y): '''intstring''' V('''string''' x, '''intstring''' y):
...
'''intstring''' main():
'''return''' V(getSrc(), y)
'''string''' getSrc():
'''string''' src = getOtherSrc()
'''return''' "\(```$src) <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():\n <nowiki>|</nowiki> return $src\n"```
'''string''' getOtherSrc():
'''return''' "```function p('''T''' int y): <nowiki>|</nowiki> int V('''T''' string x, '''T''' int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```</code>}}
Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.
Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.
{{Определение
|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением(<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.
}}
{{Лемма
<code>
<tex>p(x){:}</tex>
'''if''' <tex>r(\mathrm{getSrc()})</tex>
'''return''' 1
'''while''' ''true''
