Изменения

==Теорема о рекурсии==

|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.

 Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>: '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... ...Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента. Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''functionprogram string''' p('''Tstring''' y): '''Tstring''' V('''Tstring''' x, '''Tstring''' y):

'''voidstring''' main():

Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.   '''functionprogram string''' p('''Tstring''' y): '''Tstring''' V('''Tstring''' x, '''Tstring''' y):

'''voidstring''' main():

'''return''' ```$src + <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color=" + "\n" + green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return" + $src + "\n";``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:<code> '''functionprogram string''' p('''Tstring''' y): '''Tstring''' V('''Tstring''' x, '''Tstring''' y):

'''voidstring''' main():

'''return''' ```$src + " <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc():" + "\n" + " <nowiki>|</nowiki> return" + $src + "\n";```

'''return''' "```function p('''T''' int y): <nowiki>|</nowiki> int V('''T''' string x, '''T''' int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```</code>}}

main(): return Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(getSrc(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y) string getSrc</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y): string src = getOtherSrc(); return src + "string getOtherSrcV(p, y):" + "\n" + "return" + src + "\n;";}}}Если говорить неформально, теорема о рекурсии утверждает</tex>, что внутри программы можно которая будет использовать ее собственный исходный код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.

Приведем так же альтернативую альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением(<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.

|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> - — номера одной функции.

Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> - — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.}}  {{Утверждение|id=идентификатор (необязательно), пример: proposalF. |statement = <tex> \exists n : W_n = \{n\} </tex>, где <tex> W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex> n </tex>.|proof=По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. Напишем такую программу:  <tex>p(q){:}</tex> '''if''' <tex>p.\mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q.\mathrm{getSrc()}</tex> '''return''' 1 '''else''' '''while''' ''true'' Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.}} ==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве неразрешимости языка==Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.{{Лемма|id=st2|statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим. |proof=Предположим обратное. Тогда существует программа <tex>r</tex>, разрешающая <tex>L</tex>.Рассмотрим следующую программу:  p(x): '''if''' r(getSrc()) '''return''' 1 '''while''' ''true'' Пусть <tex>p(\varepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\varepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\varepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\varepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.