Изменения

==Теорема о рекурсии==

|author=Клини|about=О о рекурсии/ ''Kleene's recursion theorem''|statement= Пусть <tex>UV(n, x)</tex> {{- --}} [[Диагональный_методВычислимые функции|универсальная вычислимая функция]], . Тогда найдётся такая вычислимая <tex>hp</tex> - всюду определенная [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое , что <tex>n\forall y:</tex>, что <tex>U_np(y) =U_{hV(np, y)}</tex>.

Начнем с доказательства леммыПриведем конструктивное доказательство теоремы. Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{{Утверждениеmain}</tex>: '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... |id=st1 ...|statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности Тогда вызов <tex>\equivmathrm{p(x)}</tex>. Тогда следущие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: — вызов функции <tex>\mathrm{main}<br/tex>от соответствующего аргумента. * Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>fV(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex> - вычислимая . <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция. Тогда существует всюду определенное вычислимое <tex>\equivmathrm{getSrc()}</tex>-продолжение , которая вернет код <tex>gp(y)</tex> функции . Тогда саму <tex>fp(y)</tex>можно переписать так: '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, т'''string''' y): .е. такая . '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): ...Теперь нужно определить функцию <tex>g\mathrm{getSrc()}</tex> . Предположим, что внутри <tex>Dp(gy)=N</tex> и мы можем определить функцию <tex>\forall xmathrm{getOtherSrc()}</tex> такого что , состоящую из одного оператора <tex>f(x) \ne \perpmathrm{return}</tex> выполнено , которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex>fперепишется так.  '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y) \equiv g: ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(x): <font color="green">/tex/ многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> * Найдется такая всюду определенная вычислимая <texnowiki>h|</texnowiki> что return $src``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\forall n mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>hp(ny) \not\equiv n</tex>:|proof=<code> '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y):От противного .. Пусть оба утверждения выполнены. '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <brnowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): Определим функцию <texnowiki>f|</texnowiki> так return $src``` '''string''' getOtherSrc(): '''return''' ```function p(int y): <texnowiki>|</nowiki>f int V(string x, int y)=U: <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(x),xy) <nowiki>|</texnowiki> <nowiki>|</nowiki>. Заметим что никакая всюду вычислимая функция не отличается от string getSrc(): <texnowiki>f|</texnowiki> всюду. string src = getOtherSrc() <brnowiki> Согласно первому утверждению найдется всюду определенное вычислимое |<tex/nowiki> return \equiv```$src <nowiki>|</texnowiki>-продолжение <texnowiki>g|</texnowiki> функции string getOtherSrc(): <texnowiki>f|</texnowiki>. <brnowiki> Определим функцию |<tex/nowiki>t return \$src\```</texcode> так: }} Иначе говоря, если рассмотреть <tex>tV(x)=h(g(x), y)</tex>, где как программу, использующую <tex>hx</tex> - функция из второго утверждения. <br >Если в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>f(x) \ne \perpy</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>fp(xy)=gV(x) \ne h(g(x))=t(xp, y)</tex>, ткоторая будет использовать собственный исходный код.е Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.  ==Теорема о неподвижной точке==Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>f(x) \ne t(x)equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex>и докажем вспомогательную лемму. Если {{Определение|definition = Функция <tex>fg</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (x)= <tex>\perpequiv</tex>, то {{---}} continuation)''' функции <tex>f(x) \ne t(x)</tex>, т.к. если для всех таких <tex>tx</tex> - всюду определена. Значит , что <tex>f(x)</tex> всюду отлична от определено, <tex>tg(x) \equiv f(x)</tex>, противоречие.

Теперь определим отношение {{Лемма|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>\equivf</tex> так: существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_yg</tex>. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной являющаяся ее <tex>f\equiv</tex> определим {{---}} продолжением.|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex>V(n,x) = U(f(n), x)</tex>. <br> Так как <tex>UV</tex> - универсальная функция— вычислимая, то найдется такая существует вычислимая и всюду определенная вычислимая функция <tex>s(n)</tex>такая, что : <tex>V(n,x) = U(s(n), x)</tex>. <br> Тогда <tex>\forall x Покажем, n </tex> что <tex>U(f(n), x) = U(s(n), x)</tex>, значит будет являться <tex>\forall n equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex> s(n) \equiv f(n)</tex>, то есть . Если <tex>sf(n)</tex> - всюду определенное определено, то <tex>\equivs(n)</tex>-продолжение вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(n)</tex>.Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верноопределено, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>hs(n)</tex> вернет номер нигде не определенной функции.Таким образом, мы нашли <tex> \exists nequiv</tex> такое что {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>U_{h(n)} = U_nf</tex> .

|author=Роджерс|about=О рекурсиио неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''|statement= Пусть <tex>V(nU</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, x)<tex>h</tex> {{--- }} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента.Тогда найдется такая вычислимая такое <tex>pn</tex>, что <tex>\forall yU_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>ph(y) = V(p, yn)</tex>— номера одной функции.

Так как Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>Uh</tex> - универсальная, то найдется вычислимая всюду определенная такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> такая для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\forall nequiv</tex> {{---}} неподвижных точек.  Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>Vg(n)</tex>, xвсюду отличная от <tex>f(n) = U(h(n), xn)</tex>, то нарушается определение универсальной функции. ) Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <br tex>По доказанному найдется такое g(x)</tex>n_0, являющаяся </tex> что \equiv</tex>U_{n0{---}} = U_{hпродолжением функции <tex>f(n_0x)}</tex>. Давайте зададим функцию <brtex> Тогда t(x)</tex> следующим образом: <tex>Vt(n_0, x) = Uh(g(x))</tex>, где <tex>h(n_0x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x) = U</tex> (n_0в силу того, что <tex>h(x)</tex>не имеет неподвижных точек. Взяв ) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>p=U_{n_0}h</tex> получаем требуемое утверждениене существует.

|statement= Язык <tex>L=\{p|\mid p(\epsilonvarepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.

Предположим обратное, тогда . Тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая , разрешающая <tex>L</tex>.Рассмотрим следущую следующую программу :<code> p(x): '''if ''' r(pgetSrc()) '''return ''' 1 '''while ''' ''true''</code>Пусть <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilonvarepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.

==См. также==*[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]] ==Источникиинформации==* [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]* ''Верещагин Н. К. Верещагин, Шень А. Шень. '' '''Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- ''' — М.: МЦНМО, 1999- С. 176* ''Kleene, Stephen'' '''On notation for ordinal numbers''' - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155 [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]