Изменения

==Теорема о рекурсии==

|author=Клини|about=о рекурсии/ ''Kleene's recursion theorem''|statement= Пусть <tex>UV(n, x)</tex> {{---}} [[Диагональный_методВычислимые функции|универсальная вычислимая функция]], . Тогда найдётся такая вычислимая <tex>hp</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое , что <tex>n\forall y:</tex>, что <tex>U_np(y) =U_{hV(np, y)}</tex>.

Начнём с доказательства леммыПриведем конструктивное доказательство теоремы. Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>: '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... ...Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента. Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): ...Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:<code> '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): '''return''' ```function p(int y): <nowiki>|</nowiki> int V(string x, int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```</code>}} Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код. Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство. ==Теорема о неподвижной точке==Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.{{Определение|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.}}

|statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности Для всякой вычислимой функции <tex>\equivf</tex>. Тогда следующие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: <br># Пусть существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>fg</tex> {{---}} вычислимая функция. Тогда существует всюду определённое вычислимое , являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение продолжением.|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>V(n, то есть такая <tex>g</tex>, что <tex>D(gx)=N</tex> и <tex>\forall x</tex> такого, что <tex>U(f(xn) \ne \perp</tex>, выполнено <tex>f(x) \equiv g(x)</tex>.# Найдётся такая всюду определенная вычислимая Так как <tex>hV</tex>— вычислимая, что <tex>\forall n то существует вычислимая и всюду определенная функция </tex> <tex>hs(n) \not\equiv n</tex>.|proof=Приведем доказательство от противного. Пусть оба утверждения выполнены. <br>Определим функцию <tex>f</tex> тактакая, что: <tex>fV(n, x)=U(xs(n),x)</tex>. Заметим Покажем, что никакая всюду вычислимая функция не отличается от <tex>fs(n)</tex> всюду. <br> Согласно первому утверждению найдётся всюду определённое вычислимое будет являться <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>g</tex> продолжением функции <tex>f</tex>. <br> Определим функцию <tex>t</tex> так: <tex>t(x)=h(g(x)n)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} функция из второго утверждения. <br >Если <tex>f(xn) \ne \perp</tex>определено, то <tex>fs(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)</tex>, то есть <tex>f(x) \ne t(xn)</tex>вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(xn)= \perp</tex>не определено, то <tex>fs(x) \ne t(xn)</tex>вернет номер нигде не определенной функции.Таким образом, так как мы нашли <tex>t\equiv</tex> всюду определена. Значит, {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex> всюду отлична от <tex>t</tex>, получили противоречие.

|author=Роджерс|about=О рекурсиио неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''|statement= Пусть <tex>V(nU</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, x)<tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента.Тогда найдется такая вычислимая такое <tex>pn</tex>, что <tex>\forall yU_n=U_{h(n)}</tex> , то есть <tex>pn</tex> и <tex>h(y) = V(p, yn)</tex>— номера одной функции.

Так как Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>Uh</tex> , такая, что <tex>U_n \neq U_{{---h(n)}} универсальная, то </tex> для любой вычислимой всюду определенной любого <tex>n</tex> найдется такая вычислимая всюду определенная . В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>numh</tex>, что не имеет <tex>n=U_{num(n)}\equiv</tex>{{---}} неподвижных точек. Тогда найдется такая  Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>hf(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>\forall g(n, x)</tex> , всюду отличная от <tex>Vf(n, x) = U(h(num(n)), xn)</tex>, то нарушается определение универсальной функции. ) Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <br tex>По доказанному найдется такое g(x)</tex>n_0, являющаяся </tex> что \equiv</tex>U_{n_0{---}} = U_{hпродолжением функции <tex>f(n_0x)}</tex>. <br> Возьмем Давайте зададим функцию <tex>p=U_{n_0}t(x)</tex>. Тогда следующим образом: <tex>Vt(p, x) = V(U_{n_0}, x) = U(h(numg(U_{n_0}x))</tex>, x) = U(где <tex>h(n_0x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x) = U</tex> всюду отличается от <tex>f(n_0, x) = p</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex>не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.

|statement= Язык <tex>L=\{p|\mid p(\epsilonvarepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.

Предположим обратное, тогда . Тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая , разрешающая <tex>L</tex>.Рассмотрим следущую следующую программу:<code> p(x): '''if ''' r(pgetSrc()) '''return ''' 1 '''while ''' ''true''</code>Пусть <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilonvarepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.

==ИсточникиСм. также==*[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]] == Литература Источники информации==* [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]* ''Верещагин Н. К., Шень А.'' '''Лекции по математической логике и теории алгоритовалгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции''' — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176* ''Kleene, Stephen'' '''On notation for ordinal numbers''' - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155 [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]