Изменения

{{В разработке}}==Теорема о рекурсии==Говоря неформальноРассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов — <tex>V(x, теорема y)</tex>. Теорема о рекурсии позволяет утверждатьутверждает, что любая программа может использовать внутри себя свой исходный код всегда можно найти эквивалентную ей <tex>p(y) = V(номерp, y)</tex>, который ей передали в качестве параметракоторая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.

|author=Клини|about=О о рекурсии/ ''Kleene's recursion theorem''|statement=Для Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forally:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.|proof=Приведем конструктивное доказательство теоремы. Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex> вычислимой : '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... ...Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от двух соответствующего аргумента. Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x, y)</tex> . Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): ...Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\existsmathrm{getOtherSrc()}</tex> вычислимая функция определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>r:<code> '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y) : r ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): '''return''' ```function p(int y): <nowiki>|</nowiki> int V(rstring x, int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```</code>}} Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код. Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство. ==Теорема о неподвижной точке==Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.{{Определение|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.}}{{Лемма|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g</tex>, являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением.|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex> V(n, x) = U(f(n), x)</tex>. Так как <tex>V</tex> — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>s(n)</tex> такая, что: <tex>V(n, x) = U(s(n), x)</tex>. Покажем, что <tex>s(n)</tex> будет являться <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(n)</tex>. Если <tex>f(n)</tex> определено, то <tex>s(n)</tex> вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(n)</tex> не определено, то <tex>s(n)</tex> вернет номер нигде не определенной функции.Таким образом, мы нашли <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex>.}}{{Теорема|id=th2|author=Роджерс|about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> — номера одной функции.|proof=Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.  Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.) Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>.Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex>следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.}}  {{Утверждение|id=идентификатор (необязательно), пример: proposalF. |statement = <tex> \exists n : W_n = \{n\} </tex>, где <tex> W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex> n </tex>.|proof=По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. Напишем такую программу:  <tex>p(q){:}</tex> '''if''' <tex>p.\mathrm{getSrc()}</tex> == <tex>q.\mathrm{getSrc()}</tex> '''return''' 1 '''else''' '''while''' ''true'' Программа <tex> p </tex> знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число {{---}} свой номер.}} ==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве неразрешимости языка==Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex>.{{Лемма|id=st2|statement= Язык <tex>L=\{p \mid p(\varepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.

Пусть Предположим обратное. Тогда существует программа <tex>r</tex>V(x,y)разрешающая <tex>L</tex> - любая вычислимая функция. Напишем Рассмотрим следующую программу для r(y).:

<code><font size = "3em"> 01: r(y){ 02: V p(x,y); 03: 04: main() { 05: return V'''if''' r(getSrc(), y) 06: '''return''' 1 }'''while''' ''true'' 07: 08: string getSrcПусть <tex>p(\varepsilon) { 09: string tmp = getOtherSrc\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p); 10: return (tmp + "string getOtherSrc</tex> выполняется и <tex>p(\varepsilon) {" + \n + "return =1</tex>.Противоречие.. " + tmp + "}"; 11: } 12: 13: string getOtherSrcЕсли <tex>p(\varepsilon) { 14: return \ne \perp</* строки с 01 по 12 *tex>, то <tex>r(p)</ 15: } 16: }tex> не выполняется и </fonttex>p(\varepsilon)=\perp</codetex>==Источники==Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3Противоречие. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999