Изменения

* Вычислим производящую функцию последовательности <tex>a_0 = 1, a_n = k \cdot a_{n - 1}</tex>*: Так как последовательность задана линейной рекуррентой, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид <tex>F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - k \cdot x</tex> (так как <tex>c_1 = 1k</tex>), а <tex>deg(P) < 2</tex>.*: Будем искать производящую функцию в виде <tex>F(t) = \dfrac{C}{1 - k \cdot x}, C \in \mathbb{R}</tex>*: Пусть <tex>F(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots </tex>, тогда <tex>a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots = \dfrac{C}{1 - k \cdot x}</tex>, следовательно <tex>(a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots) \cdot (1 - k \cdot x) = C</tex>

*: Следовательно, <tex> F(t) = \dfrac{1}{1 - k \cdot x}</tex>*: Таким образом, <tex> 1 + k \cdot t + (k \cdot t)^2 + \ldots + (k \cdot t)^n = \dfrac{1}{1 - k \cdot x}</tex>