Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 17: Строка 17:
  
 
''Альтернативное:''
 
''Альтернативное:''
Выберем из всех путей в графе путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i</math> и <math>V_j</math>, <math>i < j</math>. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.
+
Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i</math> и <math>V_j</math>, <math>i < j</math>. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём между <math>V_i</math> и <math>V_j</math> и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.
 
}}
 
}}

Версия 00:32, 2 октября 2010

Определение:
Простой (вершинно-простой) путь между двумя вершинами графа – путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.


Определение:
Длина пути – количество вершин, входящих в последовательность, задающую этот путь.


Теорема:
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмём любой из существующих путей [math]V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n[/math]. Для вершины [math]V_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь – [math]V_j[/math] – и удалим отрезок пути от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]V_0[/math] до [math]V_n[/math], и в нём вершина [math]V_i[/math] будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины [math]V_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.


Альтернативное:

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]V_i[/math] и [math]V_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём между [math]V_i[/math] и [math]V_j[/math] и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.
[math]\triangleleft[/math]