Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 21 промежуточная версия 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Определения==
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Простой (вершинно-простой) путь''' {{---}} путь, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.
 
}}
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Реберно-простой путь''' {{---}} путь, в котором каждое из ребер графа встречается не более одного раза.
 
}}
 
[[Файл:Simple way.png|thumb|300px|left|Ориентированный граф<br><font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь<br><font color=#22B14C>Зеленым</font> реберно-простой путь]]
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Длина пути''' {{---}} количество [[Основные определения теории графов|рёбер]], входящих в последовательность, задающую этот путь.
 
}}
 
 
 
==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути==
 
==Теорема о существовании простого пути в случае существования пути==
 +
[[Файл:Simple way.png|thumb|250px|center|Ориентированный граф. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен вершинно-простой путь. <font color=#3771c8ff>Синим</font> {{---}} реберно-простой путь.]]
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует простой путь.
+
Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует [[Основные определения теории графов|вершинно-простой путь]].
|proof=
+
|proof =
 +
=== Конструктивное доказательство ===
 +
Рассмотрим путь: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n</tex> между вершинами <tex>v_0</tex> и <tex>v_n</tex>, причём <tex>v_0 \neq v_n</tex>. Возьмем <tex>v_i</tex> {{---}} вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу <tex>v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}</tex>. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём <tex>v_0 \ldots v_n</tex>, но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз  для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым.
  
=== Доказательство построением ===
+
=== Неконструктивное доказательство ===
 
 
Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n</tex>.
 
 
 
* Алгоритм:
 
1. Для вершины <tex>v_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в путь {{---}} <tex>v_j</tex>.
 
2. Удалим отрезок пути от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно.
 
Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex>, и в нём вершина <tex>v_i</tex> будет содержаться ровно один раз.
 
Начнём процесс с вершины <tex>v_0</tex> и будем повторять его каждый раз  для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.
 
 
 
=== Альтернативное ===
 
 
Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.
 
Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.
  
Предположение:
+
{{Утверждение
Пусть он не простой.
+
|statement = Допустим, что выбранный путь не является простым}}
 
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.
 
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <tex>v_i = v_j</tex>, <tex>i < j</tex>. Удалим из исходного пути отрезок от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <tex>v_0</tex> до <tex>v_n</tex> и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь {{---}} простой.
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement = Данная теорема не верна для случая <tex>v_0 = v_n</tex>.
 +
|proof = В данном случае мы не сможем найти вершинно-простой путь, так как путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
 
}}
 
}}
  

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Ориентированный граф. Красным выделен вершинно-простой путь. Синим — реберно-простой путь.
Теорема:
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует вершинно-простой путь.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Конструктивное доказательство

Рассмотрим путь: [math]v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n[/math] между вершинами [math]v_0[/math] и [math]v_n[/math], причём [math]v_0 \neq v_n[/math]. Возьмем [math]v_i[/math] — вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу [math]v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}[/math]. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём [math]v_0 \ldots v_n[/math], но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины [math]v_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым.

Неконструктивное доказательство

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.

Утверждение:
Допустим, что выбранный путь не является простым
Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]v_i = v_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Данная теорема не верна для случая [math]v_0 = v_n[/math].
[math]\triangleright[/math]
В данном случае мы не сможем найти вершинно-простой путь, так как путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания

  • Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
  • Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.

См. также