Изменения

{{Теорема* Доказательство построением:|statement=Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.|proof=Возьмём любой из существующих путей <math>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</math>. Алгоритм: 1. Для вершины <math>V_i</math> найдём момент её последнего вхождения в путь – <math>V_j</math> – и удалим . 2. Удалим отрезок пути от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от <math>V_0</math> до <math>V_n</math>, и в нём вершина <math>V_i</math> будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины <math>V_0</math> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.

Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины.  Предположение: Пусть он не простой; тогда .Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины <math>V_i</math> и <math>= V_j</math>, <math>i < j</math>. Удалим из исходного пути отрезок от <math>E_{i+1}</math> до <math>V_j</math>, включительно. Конечная последовательность также будет путём от <math>V_0</math> до <math>V_n</math> и станет короче исходной. Значит, исходный Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не был кратчайшим; . Значит, предположение неверно, выбранный путь – простой.