105
правок
Изменения
м
Возьмём два существующих пути между нужными нам вершинами: <tex>V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n</tex>, <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_mv_m</tex>, <tex>V_0 = v_0</tex>, <tex>V_n = v_m</tex>. Удалим из путей одинаковые префиксы и суффиксы, оставив из тех только последние и первые вершины, соответственно. Оставшиеся пути: <tex>V_aE_{a+1} ... E_bV_b</tex>, <tex>v_ae_{a+1} ... e_cv_c</tex>, <tex>V_a = v_a</tex>, <tex>V_b = v_c</tex>, <tex>E_{a+1} \neq e_{a+1}</tex>, <tex>E_b \neq e_cRightarrow</tex>.
Рассмотрим конкатенацию первого нового Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и развёрнутого второго нового <tex>v</tex>. Пусть это будут пути<tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_k</tex>. Она будет цикломЗаметим, так как начальная что <tex>w \neq v</tex>, т.к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{k+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдём первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и конечная вершины совпадают<tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, изначально полученный объединением <tex>w \leadsto w'</tex> части пути были рёберно-простыми<tex>s</tex> вместе с <tex>w' \leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex>, является циклическим путем. Действительно, а в точке соединения, равно как путях <tex>s</tex> и в точке замыкания цикла, условие различности <tex>s'</tex> двух идущих одинаковых рёбер подряд рёбер выполняетсяне бывает, т.к. Мы получили циклэто рёберно простые пути, а рёбра, определим его: смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex>V_0E_1V_1 , не совпадают по построению... E_kV_kЦиклический путь <tex>c</tex>, является представителем некоторого цикла в графе <tex>V_0 = V_kG</tex>.
* Алгоритм: 1. Для вершины <tex>V_i\Leftarrow</tex> найдём момент её последнего вхождения в цикл - <tex>V_j</tex>. 2. Удалим отрезок цикла от <tex>E_{i+1}</tex> до <tex>V_j</tex>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется циклом, и в нём вершина <tex>V_i</tex> будет содержаться ровно один раз.Начнём процесс с вершины <tex>V_1</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового цикла, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся цикл будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.}}
"<tex>\Rightarrow</tex>"ПредположимВыберем в графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует, потому что количество рёбер в графе любом цикле — натуральное число <tex>G</tex> существует два различных реберно-простых пути между вершинами <tex>u</texref> [[Натуральные и <tex>v</tex>целые числа#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.8C.D1.88.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>B5. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_l</tex>D0. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, тBD. кD1. пути различны82. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{l+1} \ldots v</tex> соответственноD0. Найдем первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> B0|Существование наименьшего элемента в любом подмножестве <tex>s\Bbb N</tex> и <tex>s']]</tex>, не равную <tex>w</texref>). Осталось заметитьПредположим, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \rightarrow w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \rightarrow w</tex> частью цепи <tex>s'</tex> является циклическим путемон не простой. ДействительноНо тогда он содержит дважды одну и ту же вершину, т. rе. содержит в путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух ребер подряд не бываетсебе цикл меньшего размера, что противоречит тому, что наш цикл минимальный. Таким образом, тэтот цикл — простой.к}} [[Файл:Simple cycle. это реберно простые пути, а png|thumb|580px|center|В графе минимальный цикл включает в себя три ребра— например, смежные с [2 - 5 - 6] (выделен <texfont color="red">wкрасным</tex> и <tex>w'</texfont> не совпадают по построению). Циклический путь <tex>c</tex> Согласно теореме, он является представителем некоторого цикла в графе простым.<texbr>G</tex>.]]
"<tex>\Leftarrow</tex>"
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдем первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения<tex>c</tex> с самим собой. Необходимо такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex> он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то <tex>c</tex> пересекает сам себя первый раз в вершине <tex>v_j'</tex> встречающейся раньше, чем <tex>v_l</tex>.
}}
* {{Утверждение|about=неверное|statement=''Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.''|proof=В общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точку сочленения]] или один и тот же [[Мост, эквивалентные определения|мост]].}}
в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.== Примечания ==<references/>
* [[Основные определения теории графов]]
Нет описания правки
{{В разработке}}{{ТеоремаЛемма|statement=Если Наличие двух различных рёберно простых путей между какими-либо двумя [[Основные определения теории графов|вершинами неориентированного графа]] существуют два различных рёберно-простых [[Основные определения теории графов|путиграфа]], то <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе существует простой цикл.
|proof=
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдём первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой. Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных рёберно непересекающихся пути между ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>. }}[[Файл: prime_c2_paths_and_a_cycle.png|600px|thumb|600px|center|Для вершины 2 находим последнее ее вхождение в цикл и удаляем отрезок цикла, выделенный Иллюстрация к лемме: пути отмечены соответственно <font color=#22B14C"f00000">зеленым.красным</font>и <font color="0000f0">синим<br/font>[(2, 5) - 5 - (5, 6их общий префикс отмечен пунктиром) - 6 - (6, 4) - 4 - (4, 2) - 2]а циклический путь <tex>c</tex> проходит вдоль чёрных стрелок]]
{{ЛеммаТеорема|statement=Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами графа <tex>G</tex> равносильно наличию цикла Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графесуществует простой цикл.
|proof=
== Замечания ==
* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия).
* Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата).
== См. также ==
* [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]]
* [[Отношение реберной рёберной двусвязности]]
* [[Отношение вершинной двусвязности]]
