Изменения

Перейти к: навигация, поиск
м
Нет описания правки
{{В разработке}}
 
{{Лемма
|statement=Наличие двух различных рёберно-простых путей между какими-либо двумя вершинами неориентированного [[Основные определения теории графов|графа ]] <tex>G</tex> равносильно наличию цикла в этом графе.
|proof=
"<tex>\Rightarrow</tex>"
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует два различных реберно-рёберно простых пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Пусть это будут пути <tex>p = u e_1 v_1\ldots v_{n-1} e_n v</tex> и <tex>p' = u e'_1 v'_1\ldots v'_{n-1} e'_n v</tex>. Пусть их наибольший общий префикс заканчивается в вершине <tex>w = v_k = v'_l_k</tex>. Заметим, что <tex>w \neq v</tex>, т. к. пути различны. Рассмотрим суффиксы путей <tex>p</tex> и <tex>p'</tex>: <tex>s = w e_{k+1} \ldots v</tex> и <tex>s' = w e'_{lk+1} \ldots v</tex> соответственно. Найдем Найдём первую совпадающую вершину <tex>w'</tex> в <tex>s</tex> и <tex>s'</tex>, не равную <tex>w</tex>. Осталось заметить, что замкнутый путь <tex>c</tex>, полученный объединением <tex>w \rightarrow leadsto w'</tex> части пути <tex>s</tex> вместе с <tex>w' \rightarrow leadsto w</tex> частью цепи <tex>s'</tex> , является циклическим путем. Действительно, т. r. в путях <tex>s</tex> и <tex>s'</tex> двух ребер одинаковых рёбер подряд не бывает, т.к. это реберно рёберно простые пути, а ребрарёбра, смежные с <tex>w</tex> и <tex>w'</tex> , не совпадают по построению. Циклический путь <tex>c</tex> является представителем некоторого цикла в графе <tex>G</tex>.
"<tex>\Leftarrow</tex>"
Предположим, что в графе <tex>G</tex> существует цикл и пусть циклический путь <tex>c = v_0 e_1 v_1 \ldots e_n v_0</tex> {{---}} его представитель. Найдем Найдём первую точку <tex>w = v_k = v_l (l > k)</tex> пересечения <tex>c</tex> с самим собой. Необходимо такая Такая точка существует, т.к. путь замкнутый. Рассмотрим циклический путь <tex>v_k e_{k+1} \ldots e_l v_l</tex>: он простой, т. к. если это неверно и существует вершина <tex>v_j = v_j' (k < j < j' < l)</tex>, то в <tex>c</tex> вершина <tex>v_j'</tex> повторяется раньше, чем <tex>v_l</tex>. Теперь элементарно взяв две вершины <tex>v_k</tex> и <tex>v_{k+1}</tex> легко заметить, что существует два различных реберно-неперсекающихся рёберно непересекающихся пути между ними: <tex>v_k e_{k+1} v_{k+1}</tex> и <tex>v_k e_l v_{l - 1} \ldots v_k</tex>.
}}
[[Файл:2_paths_and_a_cycle.png|600px|thumb|center|Иллюстрация к лемме: пути отмечены соответственно <font color="f00000">красным</font> и <font color="0000f0">синим</font> (их общий префикс отмечен пунктиром), а циклический путь <tex>c</tex> проходит вдоль чёрных стрелок]]
{{Теорема
Если в неориентированном графе существует цикл, то в этом графе существует простой цикл.
|proof=
Воспользуемся доказанной выше леммой. Так как Выберем в нашем графе минимальный по количеству рёбер цикл (он существует цикл, то существуют два реберно-простых пути между некоторыми вершинами: потому что количество рёбер в любом цикле — натуральное число <texref>v_0e_1v_1e_2v_2 [[Натуральные и целые числа#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BD.D0.B0.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.8C.D1.88.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.8D.D0. e_nv_n</tex>, <tex>v'_0e'_1v'_1e'_2v'_2 BB.D0.B5.D0. e'_mv'_m</tex>, <tex>v_0 = v'_0</tex>, <tex>v_n = v'_m</tex>BC. Удалим из путей одинаковые префиксы и суффиксы, оставив из тех только последние и первые вершины, соответственноD0. Оставшиеся пути: <tex>v_ae_{a+1} B5.D0.BD. e_bv_b</tex>, <tex>v'_ae'_{a+1} D1.82.D0. e'_cv'_cB0|Существование наименьшего элемента в любом подмножестве </tex>, <tex>v_a = v'_a</tex>, <tex>v_b = v'_c</tex>, <tex>e_{a+1} \neq e'_{a+1}Bbb N</tex>, <tex>e_b \neq e'_c]]</texref>)Рассмотрим конкатенацию первого нового пути и развёрнутого второго нового путиПредположим, что он не простой. Она будет циклом, так как начальная Но тогда он содержит дважды одну и конечная вершины совпадаютту же вершину, изначально пути были рёберно-простыми, а т. е. содержит в точке соединениясебе цикл меньшего размера, равно как и в точке замыкания циклачто противоречит тому, условие различности двух идущих подряд рёбер выполняется. Мы получили что наш цикл, определим его: <tex>v_0e_1v_1 .минимальный.. e_kv_k</tex>Таким образом, <tex>v_0 = v_k</tex>этот цикл — простой. Дальше будем избавляться от повторных вхождений вершин в наш цикл, действуя по следующему алгоритму:}}
* Алгоритм: 1. Для вершины <tex>v_i</tex> найдём момент её последнего вхождения в цикл - <tex>v_j</tex>. 2. Удалим отрезок цикла от <tex>e_{i+1}</tex> до <tex>v_j</tex>, включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется циклом, и в нём вершина <tex>v_i</tex> будет содержаться ровно один раз.Начнём процесс с вершины <tex>v_1</tex> и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового цикла, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся цикл будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.}} [[Файл:Simple cycle.png|thumb|580px|center|Из цикла В графе минимальный цикл включает в себя три ребра — например, [2 - 5 - 6 - 4 - 2 - 6 - 7 - 3] получаем цикл [2 - 6 - 7 - 3]. Для вершины 2 находим последнее ее вхождение в цикл и удаляем отрезок цикла, выделенный (выделен <font color=#3771c8ff"red">синим.красным</font>). Согласно теореме, он является простым.<br>]]
== Замечания ==
* Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для вершинно-простых путей (усиление условия).
* Так как вершинно-простой цикл всегда является рёберно-простым, первая теорема справедлива и для рёберно-простого цикла (ослабление результата).
* {{Утверждение|about=неверное|statement=''Если две вершины графа лежат на цикле, то они лежат на простом цикле.''|proof=В общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точку сочленения]] или один и тот же [[Мост, эквивалентные определения|мост]].}}
в общем случае неверно, так как эти вершины могут лежать в разных компонентах вершинной или рёберной двусвязности: все пути из одной вершины в другую будут содержать одну и ту же точку сочленения или один и тот же мост.== Примечания ==<references/>
== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути]]
* [[Отношение реберной рёберной двусвязности]]
* [[Отношение вершинной двусвязности]]

Навигация