Изменения

|proof = Так как <tex>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex>, то любой язык <tex>L \in \Sigma_Pi_{i+1}</tex> входит в сложностный класс <tex>\Sigma_i</tex>. Очевидно, что если язык <tex>L \in \Sigma_i</tex>, то <tex>Leftrightarrow \overline{L} \in \Pi_i</tex>.<br/> Тогда для языка <tex>L</tex> выполнено <tex>\overline{L} \in \Pi_Sigma_{i+1} \Leftrightarrow L \in \Sigma_overline{i+1L} \Leftrightarrow L \in \Sigma_i \Leftrightarrow \overline{L} \in \Pi_i</tex>. То есть <tex>\Pi_i = \Pi_{i+1}</tex>.

|statement = Если существует <tex>i \colon \Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex>, то <tex>\Sigma_i = \mathrm{PH}</tex>.

'''Индукционный переход'''. Докажем, что если <tex>\Sigma_n = \Sigma_{n+1}</tex>, то <tex>\Sigma_n Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}</tex>.<br/>Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{n+2}</tex>. По определению сложностного класса <tex>L = \Sigma_{n+2}</tex> слово <tex>x \in L \Leftrightarrow bigm| \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} RR_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2})\}</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} RR_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)</tex>.Тогда получим язык <tex>L_f = \{\langle x, y_1\rangle \colon bigm| f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br/>Тогда Заметим, что <tex>L_f \in \Pi_{n+1}</tex>, и из вышедоказанной леммы следует, что <tex>L_f \in \Pi_n</tex>.<br/>Из определения сложностного класса <tex>\Pi_n\;</tex> получаем, что <tex>\exists R_1 R_{L_f}^{n} \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_1R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>, где переменные <tex>x</tex> и <tex>y_1</tex> представляют собой одну переменную. ПолучаетсяСледовательно, что <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_1R_L^{n+1}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. То есть язык <tex>L R_L^{n+1}(x, y_1, y_2 \in \Sigma_ldots y_{n+1})</tex>. Отсюда следует, что '''return''' <tex>R_{L_f}^n(\Sigma_langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1} = )</tex>То есть язык <tex>L \in \Sigma_{n+21}</tex>.

|statement = Если существует <tex>i > 0\colon \Sigma_i = \Pi_i</tex>, то <tex>\Sigma_i = \mathrm{PH}</tex>.

Для доказательства теоремы достаточно показатьпокажем, что <tex>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex>. Тогда по , и воспользуемся предыдущей теореме <tex>\Sigma_i = PH</tex>теоремой.<br/> Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{i+1}</tex>. Тогда слово <tex>L =\{x \in L \Leftrightarrow bigm| \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{i+1} RR_L^{i+1}(x, y_1 \ldots y_{i+1})\}</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{i+1} RR_L^{i+1}(x, y_1 \ldots y_{i+1}) = f(x, y_1)</tex>. Получим язык <tex>L_f = \{ \langle x, y_1 \rangle \colon bigm| f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br>

По определению сложностного класса <tex>\Sigma_i \; \exists R_1 R_{L_f}^i \; colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_1R_{L_f}^i(\langle x, y_1 \rangle, y_2 \ldots y_{i+1})</tex>. Тогда<tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \langle y_1, y_2 \rangle \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_1R_L^i(x, \langle y_1, y_2\rangle \ldots y_{i+1})</tex>. Значит, <br/> <tex>L R_L^i(x, \langle y_1, y_2\in rangle, y_3 \Sigma_ildots, y_{i+1})</tex>. То есть '''return''' <tex>R_{L_f}^i(\Sigma_i = langle x, y_1\rangle, y_2, y_3 \Sigma_ldots y_{i+1})</tex>Значит, <tex>L \in \Sigma_i</tex>.