Изменения

{{Лемма|statement =Если <tex>\Sigma_i = Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении \Sigma_{i+1}</tex>, то <mathtex>\Sigma_iPi_i = \Pi_{i+1}</mathtex> и .|proof = <mathtex>L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \overline{L} \in \Sigma_{i+1}\Leftrightarrow \overline{L} \in \Sigma_i \Leftrightarrow L \in \Pi_i</mathtex> ==.}}

==Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Sigma_{i+1}</tex> = Утверждение теоремы ={{Теорема|statement ==Если существует <mathtex>i \colon \Sigma_i = \Sigma_{i+1}</mathtex>, то <mathtex>\Sigma_i = \mathrm{PH}</tex>.|proof = Для доказательства теоремы достаточно показать, что если такое <tex>i</tex> существует, то <tex>\forall j > i</tex> верно, что <tex>\Sigma_i = \Sigma_j</tex>.<br/>Докажем по индукции.<br/>'''База'''. <tex>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex> из условия.<br/>'''Индукционный переход'''. Докажем, что если <tex>\Sigma_n = \Sigma_{n+1}</tex>, то <tex>\Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}</tex>.<br/>Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{n+2}</tex>. <tex>L = \{x \bigm| \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2})\}</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)</tex>.Тогда получим язык <tex>L_f = \{\langle x, y_1\rangle \bigm| f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br/>Заметим, что <tex>L_f \in \Pi_{n+1}</tex> и из вышедоказанной леммы следует, что <tex>L_f \in \Pi_n</tex>.<br/>Из определения сложностного класса <tex>\Pi_n</tex> получаем, что <tex>\exists R_{L_f}^{n} \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. Следовательно, <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_L^{n+1}(x, y_1, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. <tex>R_L^{n+1}(x, y_1, y_2 \ldots y_{n+1})</mathtex> '''return''' <tex>R_{L_f}^n(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>То есть язык <tex>L \in \Sigma_{n+1}</tex>.}}

==Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Pi_i</tex> = Доказательство ={{Теорема|statement =Если существует <tex>i > 0\colon \Sigma_i =Из \Pi_i</tex>, то <mathtex>\Sigma_i = \Sigma_mathrm{i+1PH}</mathtex> очевидным образом следует .|proof = Для доказательства покажем, что <mathtex>\Pi_i Sigma_i = \Pi_Sigma_{i+1}</mathtex>, и воспользуемся предыдущей теоремой.

ДокажемРассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{i+1}</tex>. <tex>L =\{x \bigm| \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{i+1} R_L^{i+1}(x, что если y_1 \ldots y_{i+1})\}</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{i+1} R_L^{i+1}(x, y_1 \ldots y_{i+1}) = f(x, y_1)</tex>. Получим язык <tex>L_f = \{ \langle x, y_1 \rangle \bigm| f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br>Тогда <tex>L_f \in \Pi_i</tex>, и из условия теоремы <tex>L_f \in \Sigma_i</tex>.<br/>По определению сложностного класса <mathtex>\Sigma_i = \Sigma_; \exists R_{L_f}^i \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_{L_f}^i(\langle x, y_1 \rangle, y_2 \ldots y_{i+1})</tex>. Тогда <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists \langle y_1, y_2 \rangle \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_L^i(x, \langle y_1, y_2\rangle \ldots y_{i+1})</tex>. <br/> <tex>R_L^i(x, \langle y_1, y_2\rangle, y_3 \ldots, y_{i+1})</tex> '''return''' <tex>R_{L_f}^i(\langle x, y_1\rangle, y_2, y_3 \ldots y_{i+1})</mathtex>Значит, то <mathtex>L \in \Sigma_i </tex>.}}Заметим, что <tex>\Sigma_0 = \Pi_0 = \Sigma_mathrm{P}</tex>, а потому формулировка теоремы не имеет смысла при <tex>i+2}= 0</mathtex>.

Рассмотрим язык <math>L \in \Sigma_{i+2}</math>== Литература ==* S.<br>Если <math>x \in L </math>Arora, значитB.Barak. The polynomial hierarchy and alternations. Cambridge University, <math>\exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R(x, y_1 \ldots y_{n+2})</math>January 2007. Обозначим часть формулы (исключая <math>\exists y_1<[http:/math>) <math>\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)</math>www.cs. Тогда формула преобразуется в <math>\exists y_1 f(x, y_1)<princeton.edu/theory/math>.<br>Тогда получим <math>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \colon \langle x, y_1\rangle \in L_f = \{\langle x, y_1\rangle \colon f(x, y_1) = 1\}<complexity/math>phchap.pdf]

Значит, <math>L_f \in \Pi_{n+1}</math>.<br>Тогда раз <math>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</math>, то <math>\Pi_i = \Pi_{i+1}</math>, то <math>L_f \in \Pi_n</math> <math>\exists R_1 \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_1(\overline{x, y_1}, y_2 \ldots y_{n+1})</math>, где переменные <math>x</math> и <math>y_1</math> в этой формуле представляют собой одну переменную. Получается, что <math>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_1(\overline{x, y_1}, y_2 \ldots y_{n+1})</math>, откуда следует <math>L \in \Sigma_{n+1} \Rightarrow L \in \Sigma_n</math>, что и требовалось доказать. == Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math> == === Утверждение теоремы ===Если <math>\Sigma_i = \Pi_i</math>, то <math>\Sigma_i = PH</math>. === Доказательство теоремы ===Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Мы снова будем удалять квантор из формулы и получим, что если можно удалить один квантор, то можно удалить их все. Докажем, что <math>\Sigma_{i+1} = \Sigma_i</math>. <math>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1})</math>.<br>Обозначим через <math>g(x, y_1)</math> часть этой формулы без первого квантора, то есть <math>g(x, y_1) = \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1})</math>. Рассмотрим язык <math>L_g = \{ \langle x, y_1 \rangle | g(x, y_1) = 1\}</math>.<br>Получим <math>L_g \in \Pi_i = \Sigma_i</math>. <math>\exists R_2 \langle x, y_1 \rangle \in L_g \Leftrightarrow \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_2(x, y_1, y_2 \ldots y_{i+1})</math>. <math>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_2(x, \overline{y_1, y_2} \ldots y_{i+1})</math>. Значит, <math>L \in \Sigma_i</math>, что и требовалось доказать.[[Категория: Теория сложности]]