Теоремы о коллапсе полиномиальной иерархии — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Лемма)
(Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении \Sigma_i и \Sigma_{i+1})
Строка 10: Строка 10:
 
Докажем по индукции.<br/>
 
Докажем по индукции.<br/>
 
'''База'''. <tex>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex> из условия.<br/>
 
'''База'''. <tex>\Sigma_i = \Sigma_{i+1}</tex> из условия.<br/>
'''Индукционный переход'''. Докажем, что если <tex>\Sigma_n = \Sigma_{n+1}</tex>, то <tex>\Sigma_n = \Sigma_{n+2}</tex>.<br/>
+
'''Индукционный переход'''. Докажем, что если <tex>\Sigma_n = \Sigma_{n+1}</tex>, то <tex>\Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}</tex>.<br/>
Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{n+2}</tex>. По определению сложностного класса <tex>\Sigma_{n+2}</tex> слово <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R(x, y_1 \ldots y_{n+2})</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)</tex>.
+
Рассмотрим язык <tex>L \in \Sigma_{n+2}</tex>. <tex>L = \{x | \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2})\}</tex>. Обозначим <tex>\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)</tex>.
Тогда получим язык <tex>L_f = \{\langle x, y_1\rangle \colon f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br/>
+
Тогда получим язык <tex>L_f = \{\langle x, y_1\rangle | f(x, y_1) = 1\}</tex>.<br/>
Тогда <tex>L_f \in \Pi_{n+1}</tex>, и из вышедоказанной леммы следует, что <tex>L_f \in \Pi_n</tex>.<br/>
+
Заметим, что <tex>L_f \in \Pi_{n+1}</tex> и из вышедоказанной леммы следует, что <tex>L_f \in \Pi_n</tex>.<br/>
Из определения сложностного класса <tex>\Pi_n\;\exists R_1 \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_1(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>, где переменные <tex>x</tex> и <tex>y_1</tex> представляют собой одну переменную. Получается, что <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_1(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. То есть язык <tex>L \in \Sigma_{n+1}</tex>. Отсюда следует, что <tex>\Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}</tex>.
+
Из определения сложностного класса <tex>\Pi_n</tex> получаем, что <tex>\exists R_{L_f}^{n} \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. Следовательно, <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})</tex>. То есть язык <tex>L \in \Sigma_{n+1}</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 13:06, 8 мая 2012

Лемма:
Если [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math], то [math]\Pi_i = \Pi_{i+1}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \overline{L} \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \overline{L} \in \Sigma_i \Leftrightarrow L \in \Pi_i[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Sigma_{i+1}[/math]

Теорема:
Если существует [math]i \colon \Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math], то [math]\Sigma_i = PH[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы достаточно показать, что если такое [math]i[/math] существует, то [math]\forall j \gt i[/math] верно, что [math]\Sigma_i = \Sigma_j[/math].
Докажем по индукции.
База. [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math] из условия.
Индукционный переход. Докажем, что если [math]\Sigma_n = \Sigma_{n+1}[/math], то [math]\Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}[/math].
Рассмотрим язык [math]L \in \Sigma_{n+2}[/math]. [math]L = \{x | \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2})\}[/math]. Обозначим [math]\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R_L^{n+2}(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)[/math]. Тогда получим язык [math]L_f = \{\langle x, y_1\rangle | f(x, y_1) = 1\}[/math].
Заметим, что [math]L_f \in \Pi_{n+1}[/math] и из вышедоказанной леммы следует, что [math]L_f \in \Pi_n[/math].

Из определения сложностного класса [math]\Pi_n[/math] получаем, что [math]\exists R_{L_f}^{n} \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})[/math]. Следовательно, [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_{L_f}^{n}(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})[/math]. То есть язык [math]L \in \Sigma_{n+1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math]

Теорема:
Если существует [math]i \gt 0\colon \Sigma_i = \Pi_i[/math], то [math]\Sigma_i = PH[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы достаточно показать, что [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math]. Тогда по предыдущей теореме [math]\Sigma_i = PH[/math].
Рассмотрим язык [math]L \in \Sigma_{i+1}[/math]. Тогда слово [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1})[/math]. Обозначим [math]\forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1}) = f(x, y_1)[/math]. Получим язык [math]L_f = \{ \langle x, y_1 \rangle \colon f(x, y_1) = 1\}[/math].
Тогда [math]L_f \in \Pi_i[/math], и из условия теоремы [math]L_f \in \Sigma_i[/math].
По определению сложностного класса [math]\Sigma_i \; \exists R_1 \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_1(\langle x, y_1 \rangle, y_2 \ldots y_{i+1})[/math]. Тогда

[math]x \in L \Leftrightarrow \exists \langle y_1, y_2 \rangle \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_1(x, \langle y_1, y_2\rangle \ldots y_{i+1})[/math]. Значит, [math]L \in \Sigma_i[/math]. То есть [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также