Теоремы о простых числах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}} ==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел== ==Теорема о ра…»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|id=th1
 +
|statement=
 +
Простых чисел бесконечно много.
 +
|proof=
 +
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
 +
}}
 +
 
 +
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}1/n</tex>==
  
==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел==
+
{{Теорема
 +
|id=th2
 +
|statement=
 +
Ряд <tex>\sum_{}^{}1/n</tex> расходится.
 +
|proof=
 +
<tex>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
 +
}}
 +
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}</tex>.
 +
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
 +
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} </tex> - расходится.
  
==Теорема о расходимости ряда <math>\sum_{}^{}1/n</math>==
+
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}1/p</tex>==
  
==Теорема о расходимости ряда <math>\sum_{}^{}1/p</math>==
+
{{Теорема
 +
|id=th3
 +
|statement=
 +
Ряд <tex>\sum_{}^{}1/p</tex>, где <tex>p</tex> - простое, расходится.
 +
|proof=
 +
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
 +
<tex> \ln(1+x) \le x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
 +
Финально: <tex> \sum_{}^{} \frac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots) - \frac{c}{p^2}]} </tex> - расходится.
 +
}}
  
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел

Теорема:
Простых чисел бесконечно много.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема о расходимости ряда [math]\sum_{}^{}1/n[/math]

Теорема:
Ряд [math]\sum_{}^{}1/n[/math] расходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}[/math], где [math]p[/math] — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
[math]\triangleleft[/math]

Заметим для некоторого [math]k[/math]: [math]\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}[/math]. Теперь, пользуясь выражением [math] \ln(1+x) \approx x + o(x) [/math] и логарифмируя, выводим: [math] \sum_{p} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} [/math] - расходится.

Теорема о расходимости ряда [math]\sum_{}^{}1/p[/math]

Теорема:
Ряд [math]\sum_{}^{}1/p[/math], где [math]p[/math] - простое, расходится.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Работая в условиях предыдущей теоремы, продолжаем: [math] \ln(1+x) \le x[/math], тогда [math] \sum_{}^{} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}[/math].

Финально: [math] \sum_{}^{} \frac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots) - \frac{c}{p^2}]} [/math] - расходится.
[math]\triangleleft[/math]