1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
rollbackEdits.php mass rollback
==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел==
Ряд <tex>\sum_{}^{}1/n</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> - — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} </tex> - расходится.
==Теорема о расходимости ряда <mathtex>\sum_{}^{}1/p</mathtex>== {{Теорема|id=th3|statement=Ряд <tex>\sum_{}^{}1/p</tex>, где <tex>p</tex> - простое, расходится.|proof=Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:<tex> \ln(1+x) \le x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \frac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots) - \frac{c}{p^2}]} </tex> - расходится.}}
[[Категория: Классы чисел]]
