Теоретико-множественные операции над графами — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
__TOC__
 +
 
==Определения==
 
==Определения==
 
Пусть графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> имеют непересекающиеся множества вершин <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex> и непересекающиеся множества ребер <tex>X_1</tex> и <tex>X2</tex>.
 
Пусть графы <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> имеют непересекающиеся множества вершин <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex> и непересекающиеся множества ребер <tex>X_1</tex> и <tex>X2</tex>.
 +
=== Объединение ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = obedinenie
 
|id = obedinenie
Строка 6: Строка 9:
 
'''Объединением''' <tex>G_1 \cup G_2</tex> называется граф, множеством вершин которого является <tex>V=V_1 \cup V_2</tex>, а множество ребер <tex>X=X_1 \cup X_2</tex>.
 
'''Объединением''' <tex>G_1 \cup G_2</tex> называется граф, множеством вершин которого является <tex>V=V_1 \cup V_2</tex>, а множество ребер <tex>X=X_1 \cup X_2</tex>.
 
}}
 
}}
 +
=== Соединение ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = soedinenie
 
|id = soedinenie
Строка 12: Строка 16:
 
}}
 
}}
 
[[Файл:соединение.png|thumb|1100px|center]]
 
[[Файл:соединение.png|thumb|1100px|center]]
 +
=== Произведение ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = proizvedenie
 
|id = proizvedenie
Строка 20: Строка 25:
 
}}
 
}}
 
[[Файл:произведение.png|thumb|1100px|center]]
 
[[Файл:произведение.png|thumb|1100px|center]]
 +
=== Композиция ===
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = compozicia
 
|id = compozicia
Строка 28: Строка 34:
 
}}
 
}}
 
[[Файл:композиция.png|thumb|1100px|center]]
 
[[Файл:композиция.png|thumb|1100px|center]]
 +
== Леммы ==
 +
=== Лемма о произведении регулярных графов ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
<tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> - регулярные графы. Тогда <tex>G = G_1 \times G_2</tex> - регулярный граф.
 +
|proof=
 +
Пусть степень графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> будут <tex>k_1</tex> и <tex>k_2</tex> соответственно.
 +
Рассмотрим любую вершину графа <tex>G</tex>: у нее <tex>k_1 + k_2</tex> смежных вершин. Значит граф <tex>G</tex> регулярный.
 +
}}
 +
=== Лемма о композиции регулярных графов ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
<tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> - регулярные графы. Тогда <tex>G = G_1[G_2]</tex> - регулярный граф.
 +
|proof=
 +
Пусть степень графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> будут <tex>k_1</tex> и <tex>k_2</tex> соответственно.
 +
Рассмотрим любую вершину графа <tex>G</tex>: у нее <tex>|V_2| * k_1 + k_2</tex> смежных вершин. Значит граф <tex>G</tex> регулярный.
 +
}}
 +
=== Лемма о произведении двудольных графов ===
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
<tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> - двудольные графы. Тогда <tex>G = G_1 \times G_2</tex> - двудольный граф.
 +
|proof=
 +
Пусть цвет <tex>c</tex> левых долей <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> будет 0, а правых 1.
 +
А цвет каждой вершины <tex>v = (v_1, v_2)</tex> графа <tex>G</tex> будет равен <tex>c(v) = (c(v_1) + c(v_2)) mod 2</tex>.
 +
 +
Рассмотрим любую пару смежных вершин <tex>u = (u_1, u_2)</tex> и <tex>v = (v_1, v_2)</tex> из графа <tex>G</tex>, два случая:
 +
 +
1. <tex>u_1 = v_1</tex>, <tex>u_2</tex> и <tex>v_2</tex> - смежные,  значит <tex>c(u_1) = c(v_1)</tex> и <tex>с(u_2) \ne c(v_2)</tex>, из этого следует <tex>c(u) \ne c(v)</tex>.
 +
 +
2. <tex>u_2 = v_2</tex>, <tex>u_1</tex> и <tex>v_1</tex> - смежные, аналогично следует <tex>c(u) \ne c(v)</tex>.
 +
Следовательно каждое ребро графа <tex>G</tex> соединяет вершины разного цвета, значит <tex>G</tex> двудольный.
 +
}}
 +
== Источники информации ==
 +
* Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 1-ое, с.35

Версия 04:49, 12 января 2015

Определения

Пусть графы [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] имеют непересекающиеся множества вершин [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math] и непересекающиеся множества ребер [math]X_1[/math] и [math]X2[/math].

Объединение

Определение:
Объединением [math]G_1 \cup G_2[/math] называется граф, множеством вершин которого является [math]V=V_1 \cup V_2[/math], а множество ребер [math]X=X_1 \cup X_2[/math].

Соединение

Определение:
Соединением [math]G_1 + G_2[/math] называется граф, который состоит из [math]G_1 \cup G_2[/math] и всех ребер, соединяющих [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math].
Соединение.png

Произведение

Определение:
Произведением [math]G_1 \times G_2[/math] называется граф с множеством вершин [math]V[/math] равным декартовому произведению [math]V_1 \times V_2[/math]. Множество ребер [math]X[/math] определяется следующим образом:

Рассмотрим любые две вершины [math]u=(u_1, u_2)[/math] и [math]v=(v_1, v_2)[/math] из [math]V=V_1 \times V_2[/math].

Вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] смежны в [math]G=G_1 + G_2[/math] тогда и только тогда, когда ([math]u_1 = v_1[/math], а [math]u_2[/math] и [math]v_2[/math] - смежные) или ([math]u_2 = v_2[/math], а [math]u_1[/math] и [math]v_1[/math] - смежные).
Произведение.png

Композиция

Определение:
Композицией [math]G_1[G_2][/math] называется граф с множеством вершин [math]V[/math] равным декартовому произведению [math]V_1 \times V_2[/math]. Множество ребер [math]X[/math] определяется следующим образом:

Так же рассмотрим любые две вершины [math]u=(u_1, u_2)[/math] и [math]v=(v_1, v_2)[/math] из [math]V=V_1 \times V_2[/math].

Вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] смежны в [math]G=G_1 + G_2[/math] тогда и только тогда, когда ([math]u_1[/math] и [math]v_1[/math] - смежные) или ([math]u_1 = v_1[/math], а [math]u_2[/math] и [math]v_2[/math] - смежные).
Композиция.png

Леммы

Лемма о произведении регулярных графов

Теорема:
[math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] - регулярные графы. Тогда [math]G = G_1 \times G_2[/math] - регулярный граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть степень графов [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] будут [math]k_1[/math] и [math]k_2[/math] соответственно.

Рассмотрим любую вершину графа [math]G[/math]: у нее [math]k_1 + k_2[/math] смежных вершин. Значит граф [math]G[/math] регулярный.
[math]\triangleleft[/math]

Лемма о композиции регулярных графов

Теорема:
[math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] - регулярные графы. Тогда [math]G = G_1[G_2][/math] - регулярный граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть степень графов [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] будут [math]k_1[/math] и [math]k_2[/math] соответственно.

Рассмотрим любую вершину графа [math]G[/math]: у нее [math]|V_2| * k_1 + k_2[/math] смежных вершин. Значит граф [math]G[/math] регулярный.
[math]\triangleleft[/math]

Лемма о произведении двудольных графов

Теорема:
[math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] - двудольные графы. Тогда [math]G = G_1 \times G_2[/math] - двудольный граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть цвет [math]c[/math] левых долей [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] будет 0, а правых 1. А цвет каждой вершины [math]v = (v_1, v_2)[/math] графа [math]G[/math] будет равен [math]c(v) = (c(v_1) + c(v_2)) mod 2[/math].

Рассмотрим любую пару смежных вершин [math]u = (u_1, u_2)[/math] и [math]v = (v_1, v_2)[/math] из графа [math]G[/math], два случая:

1. [math]u_1 = v_1[/math], [math]u_2[/math] и [math]v_2[/math] - смежные, значит [math]c(u_1) = c(v_1)[/math] и [math]с(u_2) \ne c(v_2)[/math], из этого следует [math]c(u) \ne c(v)[/math].

2. [math]u_2 = v_2[/math], [math]u_1[/math] и [math]v_1[/math] - смежные, аналогично следует [math]c(u) \ne c(v)[/math].

Следовательно каждое ребро графа [math]G[/math] соединяет вершины разного цвета, значит [math]G[/math] двудольный.
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

  • Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 1-ое, с.35