Редактирование: Теоретическая оценка времени работы алгоритмов RMHC и (1+1)-ES для задач OneMax и MST

== Постановка задачи однокритериальной оптимизации==
Пусть <tex>S</tex> {{---}} дискретное пространство решений, а
<tex>f : S \rightarrow \mathbb{R}</tex> {{---}} оценочная функция.

Тогда задача однокритериальной оптимизации заключается в том, чтобы найти такое <tex>s \in S </tex>, что <tex> f(s)</tex> максимально. При этом рассматривается black-box scenario, что означает, что получить информацию об <tex>f</tex> можно только путем ее вычисления.
В случае эволюционных алгоритмов время их работы измеряется в количестве вычислений оценочной функции.

== Рассмотренные методы решения ==
==='''HC''' (Hill Climbing)===
В русскоязычном варианте этот метод называется методом спуска. Общая схема данного алгоритма выглядит следующим образом:
 x <tex>\leftarrow</tex> random
 while(true)
   x' <tex>\leftarrow</tex> neighbour(x)
   f(x') <tex>\geq</tex> f(x) <tex> \Rightarrow </tex> x = x' 
Итерации выполняются, пока не будет удовлетворен критерий останова. Возможны два варианта HC:

1) '''first ascent''' {{---}} в качестве <tex>x'</tex> выбирается первый из соседей, для которого <tex>f(x') \geq f(x)</tex>;

2) '''steepest ascent''' {{---}} осуществляется перебор всех соседей, и в качестве <tex>x'</tex> выбирается тот, для которого <tex>f(x')-f(x)</tex> максимально.

==='''RMHC''' (Random Mutation Hill Climbing)===

В данном алгоритме применяется же схема, что и для метода спуска, но <tex> x'</tex> получают путем случайного изменения одного из компонентов решения <tex> x </tex>.

==='''ES''' (Evolution Strategies)===
Это широкий класс алгоритмов поиска, основанных на идеях приспособления и эволюции<ref>Droste S., Jansen T., Wegener I.: [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CEcQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.mpi-inf.mpg.de%2F~tfried%2Fteaching%2FSS08%2Fseminar%2Fpaper%2F7-DorsteJansenWegener.pdf&ei=92DfT6vnDMX6mAWz1fmtDA&usg=AFQjCNErEUu9L8x4PWFPofp3Y80hjE2_Ow&sig2=G9rsT_PDarYfL7LL4tLPvg  On the analysis of the (1 + 1) evolutionary algorithm.] Theoretical Computer Science 276, 51–81 (2002) </ref>. Существуют различные вариации ES:

1) (1+1)-ES {{---}} на каждой итерации существует одно исходное решение <tex> x</tex> и одно промежуточное решение <tex>x'</tex>. После внесения случайного изменения в каждый из компонентов <tex> x</tex>, <tex>x'</tex> может оказаться любым элементом <tex>S</tex>, но, чем он ближе к <tex>x</tex>, тем выше вероятность его выбора.

2) (1+<tex>\lambda</tex>)-ES {{---}} на каждой итерации генерируется <tex>\lambda</tex> промежуточных решений, среди них выбирается лучшее.

3) (<tex>\mu</tex>+<tex>\lambda</tex>)-ES {{---}} на каждой итерации генерируется <tex>\lambda</tex> промежуточных решений, среди них выбирается <tex>\mu</tex> лучших.

== Примеры задач ==

===OneMax=== 
Задача состоит в том, чтобы найти битовую строку длины <tex>n</tex>, состоящую из одних единиц. Оценочная функция {{---}} количество единиц в текущем решении:

<tex>f(x_1, x_2, \dots , x_n) = OneMax(x_1, x_2, \dots , x_n) = x_1 + x_2, + \dots + x_n </tex>

===MST (Minimum spanning tree)===
Известная задача на графах, формулируется следующим образом. Пусть дан связный неориентированный граф <tex> G = (V, E) </tex>. Для каждого ребра <tex>e \in E</tex> задан вес <tex> w_e </tex>. Требуется найти [[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных#Построение остовных деревьев|остовное дерево]] <tex>T = (V, E')</tex> минимального веса <tex> w(T) = \sum_{e \in E'} w_e </tex>.

== Оценка времени работы для OneMax ==

Содержание данного раздела основано на работе <ref>Witt C.: [http://massivedatasets.files.wordpress.com/2010/03/slides-02283-20102.pdf  Randomized Search Heuristics.] Algorithms for Massive Data Sets, DTU Informatik,Danmarks Tekniske Universitet (2010)</ref>. 

Чтобы оценить время работы вышеописанных алгоритмов на задаче OneMax необходимо доказать несколько утверждений.

{{Утверждение
|id=proposal1
|about=1
|statement=<tex> ( 1 - \frac{1}{n} ) ^ {n-1} \geq \frac{1}{e}</tex>
|proof=Из курса математического анализа известно, что <tex> lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e </tex>.

Путем несложных преобразований получаем: <tex> (\frac {1} {1 + \frac{1}{n}})^n  = (\frac {1} {\frac{n + 1}{n}})^n = (\frac {n} {n+1})^n \stackrel{ _{m = n + 1}}{=}
(1 - \frac{1}{m}) ^ {m-1}</tex>.

Чтобы перейти от предела к неравенству, докажем, что <tex>(1 + \frac{1}{n})^n \leq e</tex>.

Известно, что <tex>1 + x  \leq e^x</tex>. Пусть <tex>x = \frac{1}{n}</tex>, тогда <tex>1 + \frac{1}{n}  \leq e^{\frac{1}{n}}</tex>. Возведем обе части в степень <tex>n</tex> и получим требуемое неравенство.

}}

{{Утверждение
|id=proposal2
|about=2
|statement=
<tex> \frac{n^k}{k^k} \leq C_n^k (1)</tex> <br>

<tex>  C_n^k \leq \frac{n^k}{k!} (2)</tex> 
|proof=

1) Из определения <tex> C_n^k </tex> сразу следует <tex> (2) </tex> : <tex> C_n^k  = \frac{n!}{k!(n-k)!} \leq \frac{n^k}{k!}</tex>.

2) Известно, что для <tex> a,b > 1 </tex> справедливо <tex>b \leq a \Rightarrow \frac{a}{b} \leq \frac{a - 1} {b - 1}</tex>
Отсюда, вновь воспользовавшись определением <tex> C_n^k </tex>, получаем <tex>(1) </tex>.
}}

{{Утверждение
|id=proposal3
|about=3
|statement=<tex> (\frac{1}{n})^k (1 - \frac{1}{n})^{n - k} \geq \frac{1}{e n^k} </tex>.
|proof=
<tex> (1 - \frac{1}{n})^{n - k} \geq \frac{1}{e} </tex> по [[#proposal1|утверждению(1)]], отсюда следует требуемый результат.
}}

{{Утверждение
|id=proposal4
|about=4
|statement=<tex> C_n^k (\frac{1}{n})^k(1 - \frac{1}{n})^{n - k} \geq \frac{1}{e k^k} </tex>.
|proof=
<tex> C_n^k (\frac{1}{n})^k(1 - \frac{1}{n})^{n - k} 
\geq \frac{n^k}{k^k} \frac{1}{e n^k} = \frac{1}{e k^k}</tex> по [[#proposal2|утверждению(2)]] и [[#proposal3|утверждению(3)]].
}}

{{Утверждение
|id=proposal5
|about=Лемма об ожидании
|statement=Если вероятность наступления события <tex>A</tex> на каждом шаге равна <tex>p</tex>, то матожидание времени наступления этого события <tex>E(t_A) = \frac{1}{p}</tex>.
|proof=По определению математического ожидания: 

<tex>E(t_A) = 1 \cdot p + 2 (1-p) p + 3 (1 - p)^2 p + \dots + k (1 - p)^k p + \dots = \sum_{i=1}^\infty  i p (1 - p) ^{i - 1} = p\sum_{i=1}^\infty  i (1 - p) ^{i - 1}</tex>.

Из курса математического анализа известно, что <tex> \frac{1}{1 - x} = \sum_{i=0}^\infty  x^i </tex>, а также то, что этот ряд удовлетворяет условиям теоремы о почленном дифференцировании. 

Воспользовавшись этим фактом, получаем:

<tex> (\frac{1}{1 - x})' = \frac{1}{(1 - x) ^ 2} = \sum_{i=0}^\infty  i x^{i - 1} </tex>.

Отсюда видно, что: <tex> \frac{p}{ (1 - (1 - p)) ^ 2} = p \sum_{i=1}^\infty  i (1 - p)^{i-1} = \frac{1}{p} </tex>.
}}
=== Алгоритм RMHC ===

Решение задачи OneMax с помощью алгоритма RMHC выглядит следующим образом. В качестве начального решения примем случайный вектор, а затем на каждой итерации равновероятно выбираем и инвертируем один бит из <tex> n </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} количество единиц в векторе (то есть значение <tex> f </tex>) в начале фазы. При <tex> k + 1 = k' > k </tex> фаза заканчивается.

Оценим время работы алгоритма для данной задачи.

Вероятность окончания фазы {{---}} это вероятность того, что будет выбран один из оставшихся <tex>n - k</tex> нулевых битов: <tex> \frac{n - k}{n} </tex>. Тогда по [[#proposal5|лемме об ожидании]] <tex> E(t) = \frac{n}{n-k}  </tex> для конкретной фазы.

Отсюда ожидаемая продолжительность всех фаз равна: 
<tex> \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n-k} = n \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = O(n \log n) </tex>

=== Алгоритм (1+1)-ES ===

Применим (1+1)-ES к решению задачи OneMax. Для этого на каждой итерации независимо для каждого бита инвертируем его с вероятностью <tex> p = \frac{1}{n} </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} значение <tex> f </tex> в начале фазы. При <tex> k' > k </tex> фаза заканчивается.

Оценим время работы алгоритма для данной задачи.

Чтобы количество единиц увеличилось, необходимо из перевернуть хотя бы один из <tex>n - k</tex> нулевых битов, и при этом не затронуть единичных. С учетом того, что вероятность переворота <tex> \frac{1}{n} </tex>, получаем вероятность окончания фазы <tex> (n - k)\frac{1}{n}(1 - \frac{1}{n}) ^ {n-1} \geq \frac{n - k}{e n}</tex> по [[#proposal3|утверждению(3)]]. Тогда по [[#proposal5|лемме об ожидании]] <tex> E(t) \leq \frac{e n}{n-k}  </tex> для конкретной фазы.

Отсюда ожидаемая продолжительность всех фаз меньше либо равна: 
<tex> \sum_{k=0}^{n-1} \frac{e n}{n-k} = e n \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = O(n \log n) </tex>

==Оценка времени работы с использованием Drift Analysis==

[[Теорема о дрифте | Теорема о дрифте]] с успехом применяется для оценки времени работы эволюционных алгоритмов в различных ситуациях. Примеры можно найти в работе<ref>Doerr B.: [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2002138  Tutorial: Drift Analysis.] GECCO '11 Proceedings of the 13th annual conference companion on Genetic and evolutionary computation, 1311-1320  (2011)</ref>.

===RMHC для OneMax===
Пусть <tex>X_t</tex> {{---}} число нулевых бит после итерации <tex>i</tex>: <tex>X_t = f_{opt} - f(X_t)</tex>

Пусть <tex>X_{t-1} = k</tex>. Тогда

<tex>E(X_t | X_{t-1} = k) = (k-1)\frac{k}{n} + k \frac{n-k}{n} = k (1 - \frac{1}{n})</tex>, то есть <tex> \delta = \frac{1}{n}</tex>.

Отсюда по [[Теорема о дрифте|теореме о дрифте]], с учетом того, что <tex> X_0 \leq n </tex> получаем: <tex> E(T) \leq n(\ln{n} + 1)</tex>.

===(1+1)-ES для OneMax===
Пусть <tex>X_t</tex> {{---}} число нулевых бит после итерации <tex>i</tex>: <tex>X_t = f_{opt} - f(X_t)</tex>.

Пусть <tex>X_{t-1} = k</tex>. Тогда вероятность перевернуть один нулевых битов равна <tex>k \frac{1}{n} ( 1 - \frac{1}{n})^{n-1} \geq \frac{k}{e n} </tex>. Отсюда:

<tex>E(X_t | X_{t-1} = k) \leq (k-1)\frac{k}{e n} + k (1 - \frac{k}{e n}) = k (1 - \frac{1}{e n})</tex>, то есть <tex> \delta = \frac{1}{e n}</tex>.

Применяем [[Теорема о дрифте|теорему о дрифте]], с учетом того, что <tex> X_0 \leq n </tex>, и получаем: <tex> E(T) \leq e n(\ln{n} + 1)</tex>.

=== (1+1)-ES для MST ===

Рассмотрим в качестве более содержательного примера поиск минимального остовного дерева с помощью (1+1)-ES. Решение представляет собой битовую строку <tex>x</tex> длины <tex>m = |E|</tex>, где <tex>x_e = 1</tex>, если ребро <tex>e</tex> входит в текущий подграф <tex>T</tex>, и <tex>x_e = 0</tex> в обратном случае.

На каждой итерации независимо для каждого бита инвертируем его с вероятностью <tex>\frac{1}{m}</tex>.

В качестве оценочной функции возьмем <tex>w(T) + C_{penalty} (|T| - n + 1) + {C_{penalty}}^2 ({\#comp} - 1) </tex>, где <tex>\#comp</tex> {{---}} число компонент связности в текущем <tex> T </tex>, а <tex> C_{penalty} > m w_{max}</tex>, где <tex>w_{max}</tex> {{---}} максимальный вес ребра.

{{Теорема 
|author=Neumann, Wegener (2004)
|statement= Ожидаемое время работы (1+1)-ES для задачи MST равно <tex>O(m^2 \log(m w_{max}))</tex>, где <tex>w_{max}</tex> {{---}} максимальный вес ребра.

|proof=

Разобьем доказательство теоремы на три этапа: получение связного подграфа, получение остовного дерева и получение минимального остовного дерева.


1) Покажем, что после <tex>O(m \log m)</tex> итераций <tex>T</tex> связно.
Пусть <tex>X_t = {\#comp} - 1</tex> после итерации <tex>t</tex>.

Если <tex>X_{t - 1} = k</tex>, то существует как минимум <tex>k</tex> ребер, которые не входят в <tex>T</tex> и добавление которых уменьшает <tex>X_t</tex>. По аналогии с решением задачи OneMax получаем:

<tex>E(X_t | X_{t-1} = k) \leq (1 - \frac{1}{e m})k</tex>.

Применяя [[Теорема о дрифте|теорему о дрифте]], получаем требуемый результат.


2) Пусть <tex>T</tex> уже связно. Тогда оно остается связным и на дальнейших итерациях, так как <tex>C_{penalty}</tex> достаточно велико. 

Покажем, что после <tex>O(m \log m)</tex> итераций <tex>T</tex> является деревом, то есть <tex>|T| = n - 1</tex>, где <tex>n = |V|</tex>.
Пусть <tex>X_t = |T| - (n - 1)</tex> после итерации <tex>t</tex> (количество "лишних" ребер в <tex>T</tex>).

Если <tex>X_{t - 1} = k</tex>, то существует как минимум <tex>k</tex> ребер, удаление которых из <tex>T</tex> уменьшает <tex>X_t</tex>. По аналогии с решением задачи OneMax получаем:

<tex>E(X_t | X_{t-1} = k) \leq (1 - \frac{1}{e m})k</tex>.

Применяя [[Теорема о дрифте|теорему о дрифте]], получаем требуемый результат.


3) Пусть <tex>T</tex> уже связно и является деревом. Тогда останется таковым и на дальнейших итерациях, так как <tex>C_{penalty}</tex> достаточно велико. 

Пусть <tex> X_t </tex> для <tex>T</tex>{{---}} это разница между весом текущего дерева и оптимального: <tex> X_t = w(T) - w_{opt} </tex> после итерации <tex>t</tex>.

Если <tex>X_{t-1} = D > 0</tex>, то существуют наборы ребер <tex>e_1, \dots, e_k</tex> из <tex>T</tex> и <tex>e'_1, \dots, e'_k</tex> из <tex>E \setminus T</tex> такие, что 

<tex>T' = T - \{e_1, \dots , e_k\} + \{e'_1, \dots , e'_k\}</tex> {{---}} это минимальное остовное дерево.

Следовательно <tex>D = \sum_{i} (w(e_i) - w(e'_i))</tex>, и для всех <tex>i</tex>

<tex>T_i = T - e_i + e'_i</tex> {{---}} остовное дерево с весом <tex>w(T_i) < w(T)</tex>.

С верояностью <tex>\geq 1/e m^2</tex>, одна итерация обменяет в точности ребра <tex>e_i</tex> и <tex>e'_i</tex>. Тогда:

<tex>E(X_t | X_{t-1} = D) \leq D - \sum_{i} (1/e m^2) (w(e_i) - w(e'_i))= (1 - 1/e m^2) D </tex>

Используем [[Теорема о дрифте|теорему о дрифте]], учитывая, что
<tex>X_0 \leq \sum_{e \in E} w(e) \leq m w_{max}</tex>, и получаем требуемый результат.
}}
==Источники==
<references />