Изменения

Тогда задача однокритериальной оптимизации заключается в том, чтобы найти такое <tex>s \in S</tex> - пространство решений , что <tex> f(дискретноs)</tex> максимально. При этом рассматривается black-box scenario,что означает, что получить информацию об <tex>f</tex> можно только путем ее вычисления.В случае эволюционных алгоритмов время их работы измеряется в количестве вычислений оценочной функции.

<tex>f : S \rightarrow \mathbb{R}</tex> - оценочная функция. Задача: найти <tex>s \in S : f(s) \rightarrow max </tex>. При этом рассматривается black-box scenario, что означает, что получить информацию об <tex>f</tex> можно только путем ее вычисления. == Методы Рассмотренные методы решения ====='''HC'''(Hill Climbing)=== В русскоязычном варианте этот метод называется методом спуска. Общая схема данного алгоритма выглядит следующим образом:

x' <tex>\leftarrow</tex> neiborneighbour(x)

1) '''first ascent''' {{--- }} в качестве <tex>x'</tex> выбирается первый из соседей, для которого <tex>f(x') \geq f(x)</tex>;

2) '''steepest ascent''' {{--- }} осуществляется перебор всех соседей, и в качестве <tex>x'</tex> выбирается тот, для которого <tex>f(x')-f(x)</tex> максимально.

Та В данном алгоритме применяется же схема, что и для HCметода спуска, но <tex> x'</tex> получают путем случайного изменения одного из компонентов решения <tex> x </tex>.

1) <tex>(1+1)-ES {{---}} на каждой итерации существует одно исходное решение <tex> x</tex> --- после и одно промежуточное решение <tex>x'</tex>. После внесения случайного изменения в каждый из компонентов <tex> x</tex>, <tex>x'</tex> может оказаться любым элементом <tex>S</tex>, но, чем он ближе к <tex>x</tex>, тем выше вероятность его выбора. 2) <tex>(1+\lambda)-ES</tex> --- генерируется <tex>\lambda</tex> промежуточных решений, среди них выбирается лучшее.

32) (1+<tex>(1+\lambda)-ES</tex> )-ES {{--- }} на каждой итерации генерируется <tex>\lambda</tex> промежуточных решений, среди них выбирается <tex>\mu</tex> лучшихлучшее.

Найти Задача состоит в том, чтобы найти битовую строку длины <tex>n</tex>, состоящую из одних единиц. Оценочная функция{{---}} количество единиц в текущем решении:

Дан Известная задача на графах, формулируется следующим образом. Пусть дан связный неориентированный граф <tex> G = (V, E) </tex>, с ребрами веса . Для каждого ребра <tex>e \in E</tex> задан вес <tex> w_e </tex>. Требуется найти минимальное [[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных#Построение остовных деревьев|остовное дерево ]] <tex>T = (V, E')</tex> минимального веса <tex> w(T) = \sum_{e \in E'} w_e </tex>.

== Оценка времени решения работы для OneMax =='''Утверждение 1:'''

Содержание данного раздела основано на работе <texref> Witt C.: [http://massivedatasets.files.wordpress.com/2010/03/slides-02283-20102.pdf Randomized Search Heuristics.] Algorithms for Massive Data Sets, DTU Informatik,Danmarks Tekniske Universitet ( 1 - \frac{1}{n} 2010) ^ {n-1} \geq \frac{1}{e}</texref>.

{{Утверждение|id=proposal1|about=1|statement=<tex> ( 1 - \frac{1}{n} ) ^ {n-1} \geq \frac{1}{e}</tex>|proof=Из курса математического анализа известно, что <tex> lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e </tex>.

Путем несложных преобразований получаем: <tex> (\frac {1} {1 + \frac{1}{n}})^n = (\frac {1} {\frac{n + 1}{n}})^n = (\frac {n} {n+1})^n \stackrel{ _{m = n + 1}}{=}(1 - \frac{1}{m}) ^ {m-1}</tex>.

}} {{Утверждение|id=proposal2|about=2|statement=<tex> \frac{n^k}{k^k} \leq C_n^k (1)</tex> <br>

'''Доказательство1) Из определения <tex> C_n^k </tex> сразу следует <tex> (2) </tex> :'''<tex> C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \leq \frac{n^k}{k!}</tex>.

2) Известно, что для <tex> a,b > 1) </tex> справедливо <tex> C_n^k = b \leq a \Rightarrow \frac{n!a}{k!(n-k)!b} \leq \frac{n^ka - 1}{b - 1}</tex>Отсюда, вновь воспользовавшись определением <tex> C_n^k!}</tex>, получаем <tex>(1) </tex>.}}

2) {{Утверждение|id=proposal3|about=3|statement=<tex>b (\leq a \Rightarrow frac{1}{n})^k (1 - \frac{a1}{bn})^{n - k} \leq geq \frac{a - 1} {b - 1e n^k}, a,b </tex>.|proof=<tex> (1 - \Rightarrow (frac{1}{n}) ^{n - k} \geq \frac{1}{e} </tex>по [[#proposal1|утверждению(1)]], отсюда следует требуемый результат.}}

'''{{Утверждение 3|id=proposal5|about=Лемма об ожидании|statement=Если вероятность наступления события <tex>A</tex> на каждом шаге равна <tex>p</tex>, то матожидание времени наступления этого события <tex>E(t_A) = \frac{1}{p}</tex>.|proof=По определению математического ожидания:'''

<tex> E(t_A) = 1 \frac{cdot p + 2 (1-p) p + 3 (1}{n}- p)^2 p + \dots + k (1 - p)^k p + \dots = \fracsum_{i=1}{n}^\infty i p (1 - p)^{n i - k1} = p\geq \fracsum_{i=1}^\infty i (1 - p) ^{e n^ki - 1} </tex>.

<tex> (1 - \frac{1}{n})^{n - k} \geq \frac{1}{e} </tex> по Утверждению 1Воспользовавшись этим фактом, отсюда следует Утверждение 3.получаем:

'''Утверждение 4Отсюда видно, что:'''<tex> \frac{p}{ (1 - (1 - p)) ^ 2} = p \sum_{i=1}^\infty i (1 - p)^{i-1} = \frac{1}{p} </tex>.}}=== Алгоритм RMHC ===

Решение задачи OneMax с помощью алгоритма RMHC выглядит следующим образом. В качестве начального решения примем случайный вектор, а затем на каждой итерации равновероятно выбираем и инвертируем один бит из <tex> n </tex>. Пусть <tex> C_n^k \frac</tex> {1}{n}^k(1 - \frac{1--}{n}количество единиц в векторе (то есть значение <tex> f </tex>)^{n - в начале фазы. При <tex> k} \geq \frac{+ 1}{e = k^' > k} </tex>фаза заканчивается.

<tex> C_n^k (\fracВероятность окончания фазы {1}{n})^k(1 - \frac{1--}{n})^{это вероятность того, что будет выбран один из оставшихся <tex>n - k} \geq </tex> нулевых битов: <tex> \frac{n^- k}{k^k} \frac{1}{e n^k} </tex>. Тогда по [[#proposal5|лемме об ожидании]] <tex> E(t) = \frac{1n}{e k^n-k} </tex> по Утверждениям 1 и 4для конкретной фазы.

'''Утверждение 5 === Алгоритм (Лемма об ожидании1+1):'''-ES ===

Если вероятность наступления события Применим (1+1)-ES к решению задачи OneMax. Для этого на каждой итерации независимо для каждого бита инвертируем его с вероятностью <tex>Ap = \frac{1}{n} </tex> на каждом шаге равна . Пусть <tex> k </tex> {{---}} значение <tex>pf </tex>, то матожидание наступления этого событияв начале фазы. При <tex>E(t_A) = \frac{1}{p}k' > k </tex>фаза заканчивается.

Отсюда ожидаемая продолжительность всех фаз меньше либо равна: <tex>E(t_A) = 1 \cdot p + 2 (1-p) p + 3 (1 - p)^2 p + \dots + sum_{k (1 - p)=0}^k p + \dots = \sum_{i=n-1}^\infty i p (1 - p) ^frac{e n}{i n- 1k} = pe n \sum_{i=1}^\infty i (1 - p) ^{i - 1n}</tex> <tex> \frac{1}{1 - xi} = O(n \sum_{i=0}^\infty x^i log n) </tex>

[[Теорема о дрифте | Теорема о дрифте]] с успехом применяется для оценки времени работы эволюционных алгоритмов в различных ситуациях. Примеры можно найти в работе<texref> \frac{1}{1 Doerr B.: [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2002138 Tutorial: Drift Analysis.] GECCO '11 Proceedings of the 13th annual conference companion on Genetic and evolutionary computation, 1311- x}' = \frac{1}{1320 (1 - x2011) ^ 2} = \sum_{i=0}^\infty i x^{i - 1} </texref>.

===RMHC для OneMax===Пусть <tex> \fracX_t</tex> {p}{ (1 - (1 - p)) ^ 2-}} число нулевых бит после итерации <tex>i</tex>: <tex>X_t = p \sum_f_{i=1opt}^\infty i - f(1 - pX_t)^{i-1} = \frac{1}{p} </tex>

<tex>E(X_t | X_{t-1} =k) =(k-1)\frac{k}{n} + k \frac{n-k}{n} = Алгоритм RMHC ==k (1 - \frac{1}{n})</tex>, то есть <tex> \delta =\frac{1}{n}</tex>.

На каждом шаге равномерно выбираем и инвертируем один бит из Отсюда по [[Теорема о дрифте|теореме о дрифте]], с учетом того, что <tex> X_0 \leq n </tex>. Пусть получаем: <tex> k </tex> --- значение <tex> f </tex> в начале фазы. При <tex> k E(T) \leq n(\ln{n} + 1 = k' > k )</tex> фаза заканчивается.

Оценим время работы алгоритма ===(1+1)-ES для данной задачиOneMax===Пусть <tex>X_t</tex> {{---}} число нулевых бит после итерации <tex>i</tex>: <tex>X_t = f_{opt} - f(X_t)</tex>.

Вероятность окончания фазы Пусть <tex> \fracX_{n t- 1} = k}{n} </tex>. Тогда по Утверждению 5 вероятность перевернуть один нулевых битов равна <tex> Ek \frac{1}{n} (t) = 1 - \frac{1}{n})^{n-1} \geq \frac{k} {e n} </tex> для конкретной фазы.Отсюда:

Отсюда ожидаемая продолжительность всех фаз: <tex> E(X_t | X_{t-1} = k) \leq (k-1)\sum_frac{k=0}^{e n} + k (1 -1} \frac{nk}{e n-k} ) = n k (1 - \sum_frac{i=1}^{e n} )</tex>, то есть <tex> \delta = \frac{1}{ie n} = O(n \log n) </tex>.

=== Алгоритм Применяем [[Теорема о дрифте|теорему о дрифте]], с учетом того, что <tex> X_0 \leq n </tex>, и получаем: <tex> E(1T) \leq e n(\ln{n} +1)-ES ===</tex>.

Независимо для каждого бита инвертируем его с вероятностью <tex> p = \frac{1}{n} </tex>. Пусть <tex> k </tex> --- значение <tex> f </tex> в начале фазы. При <tex> k' > k </tex> фаза заканчивается. Оценим время работы алгоритма для данной задачи. Вероятность окончания фазы <tex> (n - k)\frac{1}{n}== (1 - \frac{1}{n}) ^ {n-+1} \geq \frac{n - k}{e n}</tex> по утверждению 3. Тогда по Утверждению 5 <tex> E(t) \leq \frac{e n}{n-k} </tex> ES для конкретной фазы. Отсюда ожидаемая продолжительность всех фаз меньше либо равна: <tex> \sum_{kMST =0}^{n-1} \frac{e n}{n-k} = e n \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = O(n \log n) </tex>

Рассмотрим в качестве более содержательного примера поиск минимального остовного дерева с помощью (1+1)-ES. Решение представляет собой битовую строку <tex>x</tex> длины <tex>m =|E|</tex>, где <tex>x_e =Оценка времени решения MST=1</tex>, если ребро <tex>e</tex> входит в текущий подграф <tex>T</tex>, и <tex>x_e =0</tex> в обратном случае.

===Drift theorem===Пусть На каждой итерации независимо для каждого бита инвертируем его с вероятностью <tex>X_0, X_1, \dotsfrac{1}{m}</tex> --- неотрицательные целочисленные случайные величины и существует <tex>\delta > 0</tex> такое что:.

В качестве оценочной функции возьмем <tex>\forall t \in \mathbbw(T) + C_{Npenalty}, x \in \mathbb(|T| - n + 1) + {C_{Npenalty}_0 : E}^2 (X_t | X_{t\#comp} -1} = x) </tex>, где <tex>\leq (1 #comp</tex> {{--- \delta) x}} число компонент связности в текущем <tex> T </tex>, а <tex> C_{penalty} > m w_{max}</tex>, где <tex>w_{max}</tex>{{---}} максимальный вес ребра.

Тогда {{Теорема |author=Neumann, Wegener (2004)|statement= Ожидаемое время работы (1+1)-ES для задачи MST равно <tex>T = \minO(m^2 \log(m w_{t \in \mathbbmax}))</tex>, где <tex>w_{N}_0 | X_t = 0\max}</tex> удовлетворяет{{---}} максимальный вес ребра.

===An Improved Drift theorem===Пусть <tex>X_0, X_1, \dots</tex> --- случайные величины из <tex>\{0\} \cup [1Разобьем доказательство теоремы на три этапа: получение связного подграфа, \infty)</tex> получение остовного дерева и существует <tex>\delta > 0</tex> такое что:получение минимального остовного дерева.

Тогда 1) Покажем, что после <tex>O(m \log m)</tex> итераций <tex>T </tex> связно.Пусть <tex>X_t = \min\{t \in \mathbb{N}_0 | X_t = 0\#comp}- 1</tex> после итерации <tex>t</tex> удовлетворяет.

Если <tex>E(T) \leq (X_{t - 1/\delta)(\ln(X_0) + 1)} = k</tex> , то существует как минимум <tex>\forall c k</tex> 0ребер, Pr(которые не входят в <tex>T </tex> (1/\delta)(\ln(X_0) + c)) \leq e ^ {-c}и добавление которых уменьшает <tex>X_t</tex> === (1+1)-ES для MST ===. По аналогии с решением задачи OneMax получаем:

Решение представляет собой битовую строку <tex>x</tex> длины <tex>m = |E(X_t |</tex>, где <tex>x_e X_{t-1} = k) \leq (1</tex>, если <tex>- \frac{1}{e \in E'</tex>, и <tex>x_e = 0m})k</tex> в обратном случае.

Теорема. [Neumann, Wegener (20042)]:Ожидаемое время работы (1+1)-EA для задачи MST Пусть <tex>O(m^2 \log(m w_{max}))T</tex>уже связно. Тогда оно остается связным и на дальнейших итерациях, где так как <tex>w_C_{maxpenalty}</tex> --- максимальный вес ребрадостаточно велико.

ДоказательствоПокажем, что после <tex>O(m \log m)</tex> итераций <tex>T</tex> является деревом, то есть <tex>|T| = n - 1</tex>, где <tex>n = |V|</tex>.Пусть <tex>X_t = |T| - (n - 1)</tex> после итерации <tex>t</tex> (количество "лишних" ребер в <tex>T</tex>).

1) Пусть после Если <tex>O(m \log m)X_{t - 1} = k</tex> итераций , то существует как минимум <tex>Tk</tex> связно:ребер, удаление которых из <tex>X_t = {\#comp} - 1T</tex> после итерации уменьшает <tex>tX_t</tex>. По аналогии с решением задачи OneMax получаем:

Если <tex>E(X_t | X_{t - 1} = k</tex>, то существует как минимум <tex>) \leq (1 - \frac{1}{e m})k</tex> ребер, которые не входят в <tex>T</tex> и добавление которых уменьшает <tex>X_t</tex>.

23) Пусть <tex>T</tex> уже связнои является деревом. Тогда оно остается связным останется таковым и на дальнейших итерациях, так как <tex>C_{penalty}</tex> достаточно велико.

Пусть <tex> X_t </tex> для <tex>T</tex>{{---}} это разница между весом текущего дерева и оптимального: <tex> X_t = w(T) - w_{opt} </tex> для <tex>T</tex> после итерации <tex>t</tex>.

Если <tex>X_{t-1} = D > 0</tex>, то существуют наборы ребер <tex>e_1, \dots, e_k</tex> из <tex>T</tex> и <tex>e'_1, \dots, e'_k</tex> из <tex>E \setminus T</tex> такие, что

<tex>T' = T - \{e_1, \dots , e_k\} + \{e'_1, \dots , e'_k\}</tex> {{--- }} это MST,минимальное остовное дерево.

следовательно Следовательно <tex>D = \sum_{i} (w(e_i) - w(e'_i))</tex>, и для всех <tex>i</tex>

<tex>T_i = T - e_i + e'_i</tex> {{--- основное }} остовное дерево с весом <tex>w(T_i) < w(T)</tex>.

С верояностью <tex>\geq 1/e m^2</tex>, одна итерация обменяет в точности ребра <tex>e_i</tex> и <tex>e'_i</tex>.Тогда:

<tex>E(X_t| X_{t-1} = D) \leq D - \sum_{i} (1/e m^2) (w(e_i) - w(e'_i))= (1 - 1/e m^2) D </tex>

Используем [[Теорема о дрифте|теорему о дрифте]], учитывая, что