1679
правок
Изменения
м
15. Производная сложной.
Нет описания правки
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{Теорема|author=Хаусдорф|statement=Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто. Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.{{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
}}
14. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
{{Определение
|definition=
<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где
<tex>o(\Delta x)</tex> {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.
Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом''' в точке <tex>x</tex>.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x)</tex>.
|proof=
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> {{---}} бесконечно малая.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</tex>
}}
15. Производная сложной функции.
{{Теорема
|about=
Дифференцирование сложной функции
|statement=
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
}}
16. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
{{Теорема
|author=
Ферма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> существует и дифференцируема в <tex> O(x_0) </tex>, и <tex> x_0 </tex> {{---}} точка локального экстремума. Тогда <tex> f'(x_0) = 0.</tex>
}}
17. Теорема Ролля о нулях производной.
{{Теорема
|author=
Ролль
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>, дифференцируема на <tex>(a, b)</tex> и <tex>f(a) = f(b)</tex>. Тогда существует точка <tex> c \in (a; b)</tex>, такая, что <tex> f'(c) = 0</tex>.
}}
18. Формула конечных приращений Лагранжа.
{{Теорема
|author=
Лагранж
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируема на <tex> (a; b) </tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{b - a} </tex> <tex> = f'(c) </tex>
}}
19. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
{{Теорема
|author=
правило Лопиталя
|statement=
Если при <tex>x \rightarrow a</tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} </tex>, то <tex dpi = '150'> \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>
}}
20. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.
{{Теорема
|about=
Лагранж
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема в окрестности точки <tex>x_0</tex>.
Тогда <tex dpi=140>\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x)</tex> <tex dpi=140>= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k +
\frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}
</tex>
<tex>c_x = x_0 + \Theta(x - x_0), \quad \Theta \in (0; 1)</tex>
<tex>f(x)</tex> {{---}} формула Тейлора с остатком по Лагранжу.
}}
21. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
{{Определение
|definition=
Фундаментальные полиномы <tex>\Phi_j(x)</tex> степени не выше <tex>n</tex> — полиномы, отвечающие заданной
системе узлов <tex>x_0 < x_1 < x_2 <\ldots < x_n</tex> такие, что
<tex>
\Phi_j(x_k) = \left\{
\begin{aligned}
1 & ,\quad k = j\\
0 & ,\quad k \ne j\\
\end{aligned}\right.
</tex>.
}}
Для его построения обозначим за <tex>\omega_n(x) = \prod\limits_{j = 0}^n (x - x_j)</tex>. Это полином степени <tex>n + 1</tex>.
Обозначим <tex>L_n(x) = \sum\limits_{j = 0}^n y_j \Phi_j(x)</tex>.
<tex>L_n(x_k) = \sum\limits_{j = 0}^n y_j \Phi_j(x_k) = y_k \Phi_k(x_k) = y_k</tex>.
{{Теорема
|about=
Лагранжа
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема на <tex>\langle a; b\rangle</tex>. На этом промежутке задана система узлов.
Тогда для соответственного интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство
<tex>f(x) = L_n(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n+1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>, где <tex>c_x</tex> — некоторая точка из <tex>\langle a; b \rangle</tex>, зависящая от <tex>x</tex>.
}}
22. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.
{{Определение
|definition=
Пусть [[Отображения|функция]] <tex>f(x)</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда она выпукла вверх на этом отрезке, если
<tex>\forall x_1, x_2 \in [a; b] \forall \alpha \in [0; 1] \quad \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2) \leq f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2)</tex>.
Если же всё время неравенство противоположно, то функция называется выпуклой вниз.
}}
В силу того, что было сказано о выпуклой комбинации, определение корректно: <tex>\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2 \in [a; b]</tex>.
Геометрической смысл этого факта состоит в том, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.
{{Теорема
|about=
Неравенство Йенсена
|statement=
Пусть <tex>f(x)</tex> выпукла вверх на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall x_1, x_2 \ldots x_n \in [a; b]</tex> и их выпуклой комбинации выполнено неравенство
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k f(x_k) \leq f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k\right)</tex>.
}}
23. Неравенство Гельдера для сумм.
{{Теорема
|about=
Гёльдера
|statement=
Пусть <tex>a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex dpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
Тогда
<tex>
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}
</tex>
}}
24. Неравенство Минковского для сумм.
{{Теорема
|about=
Минковского
|statement=
Пусть снова <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p \ge 1</tex>.
Тогда
<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
</tex>
}}
25. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F_\alpha(t), \alpha \in A</tex>. Тогда <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)</tex> — также выпуклая функция.
}}
{{Теорема
|about=
о выпуклом модуле непрерывности
|statement=
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>
}}
26. Полиномы и теорема Бернштейна.
27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования,
формула интегрирования по частям.
