Изменения
→№20. Формула Стирлинга
== Вопрос = №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических===
{{Определение
|definition=
}}
[[О многократных интегралах]] === Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №3. Теорема Фробениуса===
{{Теорема
|author=
}}
== Вопрос = №4. Тауберова теорема Харди===
{{Теорема
|author=
}}
== Вопрос = №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №6. Признак Вейерштрасса===
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
}}
== Вопрос = №7. Признак типа Абеля-Дирихле===
{{Теорема
}}
== Вопрос = №8. Предельный переход под знаком функционального ряда===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №11. Лемма Абеля===
{{Лемма
|author=Абель
}}
== Вопрос = №12. Теорема о радиусе сходимости===
{{Определение
|definition=
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.
2) <tex>\forall [a; b] \in subset (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится.
}}
== Вопрос = №13. Вычисление радиуса сходимости===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов===
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?"
}}
== Вопрос = №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы===
<wikitex>
Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
</wikitex>
== Вопрос = №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора===
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>
== Вопрос = №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций ===
<wikitex>
$e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $
$ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{(n + 1)} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $
</wikitex>
== Вопрос = №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций ===
<wikitex>
$\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$
$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
</wikitex>
== Вопрос = №19. Биномиальный ряд Ньютона ===
<wikitex>
$ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $
$ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ (в форме Коши)
</wikitex>
=== Вопрос №20. Формула Стирлинга ===<wikitexdpi=240>
$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $
</wikitex>
=== Вопрос №21. Нормированное пространство: арифметика предела===
{{Утверждение
|statement=
}}
== Вопрос = №22. Ряды в банаховых пространствах===
{{Определение
|definition=
<tex>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex>
== Вопрос = №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем===Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств. Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex># <tex>(x, y) = (y, x)</tex># <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex> Базируясь на этом неравенстве, определим норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>. Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''. {{Теорема|author=Бессель|statement=Пусть <tex> l_1 \dots \l_n \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex> и <tex> x \in H </tex>, тогда <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>}} Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <tex>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <tex>\|x\|^2</tex>, если <tex>l_k</tex> — ряд Фурье <tex>x</tex>.
== Вопрос = №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №26. Принцип сжатия Банаха===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №28. Норма линейного оператора===
{{Определение
|definition=
}}
== Вопрос = №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек===
{{Определение
|definition=
'''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <tex> H </tex> - гильбертово пространство.
}}
{{TODOТеорема|tstatement=Что такое разделение Для любого <tex> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:# <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex># <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>}} {{Утверждение|statement=<tex>\forall x \ne y\ \exists</tex> линейный функционал <tex>\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>|about=Разделение точек???|proof=Рассмотрим <tex>x-y</tex>. <tex>\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|</tex>. По линейности, <tex>\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y</tex>. Значит, <tex>\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>.}}
== Вопрос = №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость===
{{Утверждение
|about=
}}
== Вопрос = №31. Полнота R^n===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №32. Критерий компактности в R^n===
{{Теорема
}}
== Ворпос = №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов==={{Определение|definition=Л.о. непрерывен в X, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>}} Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле. В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex> {{Утверждение|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>|proof=<tex>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>. В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex> Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.}}
== Вопрос = №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <tex>\left \| \Delta x \right \| < r \quad (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:
<tex> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| </tex>,
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x})}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
}}
== Вопрос = №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных===<tex>f(\overlinemathcal{aF}) - f_i(\overline{ba}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\fracmathcal{\partial f}{\partial x_jF}_i(\Theta\overline{ab} + (1-\Theta)= \overlinemathcal{bF}) = f'_i(\Thetatheta_i\overline{a}+(1-\Thetatheta_i)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
== Вопрос = №36. Неравенство Лагранжа===
{{Теорема
|author=
}}
== Вопрос = №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных===
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
}}
== Вопрос = №39. Формула Тейлора для функции многих переменных===<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>
== Вопрос = №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия==={{Определение
|definition=
Пусть задан линейный функционал <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.
{{Теорема
|about=
Аналог теоремы Ферма(необходимое условие)
|statement=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>
}}
Достаточное условие: Если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального минимума. === Вопрос №41. Локальная теорема о неявном отображении===Пусть <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>, тогда рассмотрим <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>. <tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что для любого <tex>\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> существует единственный <tex> \overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>? Если это так, то, в силу единственности y, определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется как <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex>
{{Теорема
|about=
}}
== Вопрос = №42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум===
<tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:
<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.
'''Метод множителей Лагранжа:''' <tex>F(\overline x,\overline y,\overline {\lambda})=f(\overline x,\overline y)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k g_k(\overline x,\overline y).</tex> Далее составляем систему соотношений так, будто для <tex>F</tex> мы стали искать безусловный экстремум: <tex>\begin{cases} \frac {\partial F}{\partial x_j}=0\\ \frac {\partial F}{\partial y_i}=0\\ \frac {\partial F}{\partial \lambda_k}=0 \Longleftrightarrow g_k(\overline x,\overline y)=0\end{cases};</tex> Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна. === Вопрос №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование===
<wikitex>
Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.
</wikitex>
== Вопрос = №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса===
<wikitex>
Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.
{{Теорема
|author=
</wikitex>
== Вопрос = №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность===
<wikitex>
Считаем, что f непрерывна в полосе, а интеграл равномерно сходится на [c; d]
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $
</wikitex>
== Вопрос = №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование===
<wikitex>
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $
</wikitex>
== Вопрос = №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование===
<wikitex>
Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $. $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( $ - равномерно сходится. $ \int\limits_climits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} g(tx, y) dt \right)' dx = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $
</wikitex>
== Вопрос = №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера===
<wikitex>
$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
$ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)} $
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
</wikitex>
== Вопрос = №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования===
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
== Вопрос = №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику===Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex>, и они не имеют общих внутренних точек, то:* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \in \mathbb N : m \leq p \ \exists \intiint\limits_{\Pi_m} f</tex>
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
== Вопрос = №51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника===
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
== Вопрос = №52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану===
{{Определение
|definition=
}}
(Признак!) Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемая фигура. Вообще в Фихтенгольце есть критерий: Для того чтобы фигура была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур имел площадь 0. Но он нам этого не давал, возможно, перед экзаменом стоит ему об этом сказать. === Вопрос №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту===
{{Теорема
|statement=
}}
== Вопрос = №54. Формула повторного интегрирования в общем случае===
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
== Вопрос = №55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах===<tex>\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv </tex>
== Вопрос = №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле===<texwikitex>\mathcal{J}$P(u_1, \ldotsu, u_nv) = \left|\begin{array}{cccpmatrix}x_u' & y_u' \frac{\partial x_1}{x_v' & y_v' \partial u_1} & \cdots & \fracend{\partial x_1pmatrix}$ $J(u, v) = det(P(u, v))$;{{Теорема|about=Замена переменных интегрирования в двойном интеграле|statement=Пусть дан закон преобразования переменных, $\partial u_nbegin{cases} x & = x(u, v)\\\vdots y & = y(u, v)\ddots & \vdots \\\fracend{\partial x_ncases}{$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \partial u_1} & rightarrow \cdots & mathbb R$. Тогда выполняется $|E| = \frac{iint\partial x_n}limits_{\partial u_nE} f(x, y)dxdy = \iint\\endlimits_{arrayE'}\rightf(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv $| \ne 0</tex>proof=}}
