1632
правки
Изменения
м
}}
{{TODO
| t = здесь надо еще написать что-нибудь типа определения неявного отображения
если Существование интеграла равносильно совпедению пределов нижней и верхней интегральных сумм <tex>f</tex> {\underline{---}I} непрерывна на <tex> \Pi </tex>, то существует и <tex>\iint\limits_\Pi foverline{I} </tex>(достаточное условие интегрируемости).
<tex>$J(u, v) = det(P(u, v))$;{{Теорема|about=Замена переменных интегрирования в двойном интеграле|statement=Пусть дан закон преобразования переменных, $\begin{cases}x & = x(u, v)\int\limits_E y & = y(u, v)\\\end{cases}$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $|E| = \iint\limits_{E}f(\bar x, y) d \bar x dxdy = \intiint\limits_{E'} f(\bar x(\bar u, v), y(u, v)) |\mathcal{J}(\bar u, v)| d \bar u</tex>dudv $|proof=}}
rollbackEdits.php mass rollback
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.
}}
[[О многократных интегралах]]
=== №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля===
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.
2) <tex>\forall [a; b] \in subset (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится.
=== №20. Формула Стирлинга ===
<wikitexdpi=240>
$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $
</wikitex>
=== №21. Нормированное пространство: арифметика предела===
{{Утверждение
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x})}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
}}
=== №39. Формула Тейлора для функции многих переменных===
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>
=== №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия===
{{Теорема
|about=
Аналог теоремы Ферма(необходимое условие)
|statement=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>
}}
Достаточное условие:
Если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального минимума.
=== №41. Локальная теорема о неявном отображении===
Пусть <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>, тогда рассмотрим <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>.
<tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что для любого <tex>\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> существует единственный <tex> \overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>?
Если это так, то, в силу единственности y, определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется как <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex>
{{Теорема
|about=
|statement=
Пусть для <tex>f</tex> поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными <tex>(x_0,y_0)</tex>. Известно, что в окрестности начальных данных<tex>f_{\overline y}'</tex> непрерывно зависит от <tex>\overline x,\overline y</tex> и непрерывно обратима в <tex>(x_0,y_0)</tex>. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.
}}
<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.
'''Метод множителей Лагранжа:'''
<tex>F(\overline x,\overline y,\overline {\lambda})=f(\overline x,\overline y)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k g_k(\overline x,\overline y).</tex> Далее составляем систему соотношений так, будто для <tex>F</tex> мы стали искать безусловный экстремум:
<tex>\begin{cases} \frac {\partial F}{\partial x_j}=0\\
\frac {\partial F}{\partial y_i}=0\\
\frac {\partial F}{\partial \lambda_k}=0 \Longleftrightarrow g_k(\overline x,\overline y)=0\end{cases};</tex>
Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна.
=== №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование===
=== №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность===
<wikitex>
Считаем, что f непрерывна в полосе, а интеграл равномерно сходится на [c; d]
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $
</wikitex>
=== №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование===
<wikitex>
Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $. $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( $ - равномерно сходится. $ \int\limits_climits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} g(tx, y) dt \right)' dx = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $
</wikitex>
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
$ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)} $
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
=== №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику===
<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
}}
(Признак!) Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемая фигура.
Вообще в Фихтенгольце есть критерий:
Для того чтобы фигура была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур имел площадь 0. Но он нам этого не давал, возможно, перед экзаменом стоит ему об этом сказать.
=== №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту===
=== №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле===
<texwikitex>\mathcal{J}$P(u_1u, \ldots, u_nv) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_npmatrix} \\\vdots x_u' & y_u' \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} x_v' & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} y_v' \\\end{arraypmatrix}\right| \ne 0</tex>$
=== №57. Обзор формул для многократных интегралов===
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
