Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(20. Теорема Егорова)
(2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства)
Строка 25: Строка 25:
 
=2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства=
 
=2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства=
  
  бла-бла-бла
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
 +
 
 +
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
 +
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность)
 +
}}
 +
===Два важных свойства на полукольце:===
 +
 
 +
Пусть <tex> m </tex> — мера на полукольце  <tex> \mathcal R </tex>, тогда:
 +
 
 +
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
 +
 
 +
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'')
 +
 
 +
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
  
 
=3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце=
 
=3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце=

Версия 22:49, 7 января 2012

Содержание

1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)

Определение:
Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal R [/math] — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара [math] (X, \mathcal R) [/math] называется полукольцом, если:
  1. [math] \varnothing \in \mathcal R [/math]
  2. [math] A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R [/math] (замкнутость относительно пересечения)
  3. [math] A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing [/math] для [math] i \ne j [/math] (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).


Определение:
Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal A [/math] — совокупность его подмножеств. [math] \mathcal A [/math]алгебра, если:
  1. [math] \varnothing \in \mathcal A [/math]
  2. [math] B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A [/math]
  3. [math] B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A [/math]
[math] \mathcal A [/math] называется σ-алгеброй (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности [math] \mathcal A [/math] пересечения счетного числа множеств


Примеры:

тут чего то написать...

2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства

Определение:
Пусть [math] (X, \mathcal R) [/math] — полукольцо. [math] m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}[/math] называется мерой на нем, если:
  1. [math] m(\varnothing) = 0 [/math]
  2. Для дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R [/math] и [math] A \in \mathcal R [/math], такого, что [math] A = \bigcup\limits_{n} A_n [/math], [math] m(A) = \sum\limits_n m(A_n) [/math] (сигма-аддитивность)

Два важных свойства на полукольце:

Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math], тогда:

1) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]\bigcup\limits_{n} A_n \subset A [/math] выполняется [math] \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) [/math]

2) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]A \subset \bigcup\limits_{n} A_n [/math] выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность)

Замечание: в случае [math] n = 1[/math] второе свойство [math]A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) [/math] называют монотоностью меры.

3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце

бла-бла-бла

4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы

бла-бла-бла

5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы

бла-бла-бла

6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори

бла-бла-бла

7. Критерий мю*-измеримости

бла-бла-бла

8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства

бла-бла-бла

9. Объем, как мера на полукольце ячеек

бла-бла-бла

10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)

бла-бла-бла

11. Теорема о внешней мере в R^n

бла-бла-бла

12. Структура измеримого по Лебегу множества

бла-бла-бла

13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега

бла-бла-бла

14. Арифметика измеримых функций

бла-бла-бла

15. Измеримость поточечного предела измеримых функций

бла-бла-бла

16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду

бла-бла-бла

17. Предел по мере и его единственность

бла-бла-бла

18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере

бла-бла-бла

19. Теорема Рисса

бла-бла-бла

20. Теорема Егорова

Д.Ф. Егоров — основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.

Теорема (Егоров):
Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math], [math]\delta \gt 0[/math]. Тогда [math]\exists E'' \subset E[/math], [math]\mu E'' \gt \mu E - \delta[/math], [math]f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f[/math]

21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше

бла-бла-бла

22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега

бла-бла-бла

23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции

бла-бла-бла

24. Счетная аддитивность интеграла

бла-бла-бла

25. Абсолютная непрерывность интеграла

бла-бла-бла

26. Арифметические свойства интеграла Лебега

бла-бла-бла

27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

бла-бла-бла

28. Определение интеграла от суммируемой функции

бла-бла-бла

29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций

бла-бла-бла

30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций

бла-бла-бла

31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака

бла-бла-бла

32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

бла-бла-бла

33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов

бла-бла-бла

34. Теорема Фату

бла-бла-бла

35. Неравенства Гельдера и Минковского

бла-бла-бла

36. Пространства, полнота

бла-бла-бла

37. Всюду плотность множества С в пространствах

бла-бла-бла

38. Мера цилиндра

бла-бла-бла

39. Мера подграфика

бла-бла-бла

40. Вычисление меры множества посредством его сечений

бла-бла-бла

41. Теорема Фубини

бла-бла-бла