Изменения
→41. Критерий Лебега интегрируемости по Риману
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом'''множеств из <tex>X</tex>, если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно дополнения)# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap cup C \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно объединения)
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения объединения счетного числа множеств
}}
Примеры:
=2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-аддитивность)
}}
===Два важных свойства на полукольце:===
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)
}}
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
=7. Критерий мю*-измеримости=
=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства=
=9. Объем, как мера на полукольце ячеек=
=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)=
=11. Теорема о внешней мере в R^n=
=12. Структура измеримого по Лебегу множества=
<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex>
Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.
{{Определение
{{Определение
|definition=
}}
В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.
//а единственность у нас вообще была? 0_оЕсли да, то {{TODO|t = добавить}}.: А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере.
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
=19. Теорема Рисса=
{{Теорема
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0</tex>.Тогда <tex>: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex><br>Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
}}
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега=
Есть <tex>(X, \mathcal{A}, \mu)</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная. Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>),<tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей: <tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение. Строим системы чисел <tex>m_p(f) бла= m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex>, они конечны. {{Определение|definition=Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу {{---}} <tex>\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p</tex>, <tex>\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p</tex>. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.}} {{Определение|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если любой отрезок <tex> e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то отрезке <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.}} {{Лемма|statement=1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>2. <tex>\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)</tex>, <tex>\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>}} Тогда, если определить <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>. {{Определение|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируема по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{--бла-бла}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.}} {{Теорема|statement=<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Иначе говоря, существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>.}}
=23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции=
=24. Счетная аддитивность интеграла=
=25. Абсолютная непрерывность интеграла=
=26. Арифметические свойства интеграла Лебега=
=27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла=
=28. Определение интеграла от суммируемой функции=
=29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций=
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=
=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости=
=33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов=
=34. Теорема Фату=
{{Теорема|author=Фату|statement=Пусть измеримые <tex> f_n </tex> бла-бла-бланеотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.}}
=35. Неравенства Гельдера и Минковского=
=36. Пространства, полнота=
<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E бла-бла{|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-блаой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>. {{Теорема|statement=<tex> L_p(E) </tex> — линейное пространство.}} {{Теорема|statement=<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — нормированное пространство.}} {{Теорема|about=о полноте|statement=<tex> L_p(E) </tex> — полное.}}
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
=38. Мера цилиндра=
=39. Мера подграфика=
=40. Вычисление меры множества посредством его сечений=
{{Теорема|statement=Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex> Тогда:# <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.# <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.# <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 бла-бла-бла</tex>}}
=41. Теорема Фубини=