Изменения

Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом'''множеств из <tex>X</tex>, если:

# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно дополнения)# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap cup C \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно объединения)

<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения объединения счетного числа множеств

Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:

# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-аддитивность)

2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')

2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)

Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:

{{TODOТеорема|t author= дописатьКаратеодори|statement=Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда: чего-нить по теме# <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex># <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>}}

{{TODOУтверждение|t about= дописатьКритерий <tex>\mu</tex>-измеримости|statement=Пусть <tex>E\subset X</tex>. Тогда <tex>E</tex>-измеримо <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon > 0</tex> <tex> \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : чего-нить по темеA_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) < \varepsilon</tex>}}

{{TODOТеорема|t statement= дописать: чегоОбъём ячейки {{-нить по теме--}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве.}}

Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.

Пусть заданы Две функции <tex>f_n, f</tex> на и <tex>Eg</tex>, определённые на множестве <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0X</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> называются '''почти всюдуэквивалентными''' на этом множестве, если <tex>Ef(x) = g(x)</tex>почти всюду.

 //а единственность у нас вообще была? 0_оЕсли да, то {{TODO|t = добавить}}.: А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере.

|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0</tex>.Тогда <tex>: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex><br>Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.

Пусть <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> - измеримая функция. Рассмотрим набор множеств <tex> e </tex>, такой, что <tex>e \in E</tex> - измеримо, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует <tex>\int \limits_{e} f d\mu</tex> {{---}} интеграл Лебега. {TODO{Определение|t definition=<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = дописать: чего\int \limits_{E} f d\mu</tex> {{---нить }} интеграл по теме<tex>E</tex>.}}

{{TODOТеорема|t statement= дописатьПусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: чего<tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>. <tex>f</tex> {{---нить по теме}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>. Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.}}

{{TODOТеорема|t about= дописатьАбсолютная непрерывность|statement=Пусть <tex> f </tex> — суммируема на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: чего-нить по теме\mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon </tex>}}

{{TODOТеорема|t about= дописать: чего<tex>\sigma</tex>-нить по темеаддитивность интеграла|statement=Пусть существует <tex> \int\limits_E fd\mu</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_n E_n</tex> {{---}} измеримы и дизъюнктны. Тогда <tex> \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_{E_n} fd\mu </tex>.}} {{Утверждение|about=линейность интеграла|statement=Пусть <tex>\exists\int f, \int g</tex>, <tex>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu</tex>.}}

{{TODOТеорема|t author= дописать: чегоЛебег|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---нить по теме}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.}}

{{TODOОпределение|t definition= дописать: чего<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup\int\limits_{e}fd\mu < +\infty</tex>, где <tex>e</tex> -нить по теме'''хорошее множество''', то есть <tex>e \subset E</tex>, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>.}}

{{TODOТеорема|t statement= дописатьПусть <tex>E</tex> {{---}} измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: чего<tex>E = \bigcup \limits_{n} E_n</tex>. <tex>f</tex> {{---нить по теме}} измеримо, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex>. Тогда <tex>\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f</tex>.}}

(Конечно долго, но кто хочет - исправьте)<tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на любые <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность.Действительно, <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>: Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{TODO|t \infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично, <tex>E = дописать\bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>. После этого, <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры, можно считать, что <tex>\forall p: чего\mu B_p < +\infty</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-нить по темеаддитивности интеграла от неотрицательной функции:  <tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p}f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E}g</tex>. Получили линейность.

{{TODO|t = дописать: чегоТак как <tex> \int\limits_E </tex> определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также <tex> \sigma </tex>-нить по теме}}аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для <tex> f_+, f_- </tex> и сложить.

{{TODOТеорема|t author= дописатьЛебег|about=о мажорируемой сходимости|statement=Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая. Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: чего-нить по теме <tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.}}

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:{{Теорема|author=Леви|statement=Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.}} {{TODOЛемма|t about=следствие о ряде из интегралов|statement=Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> на и измеримы на <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = дописать: чего-нить по теме1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>.}}

{{TODOТеорема|t author= дописать: чего-нить Фату|statement=Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по темемере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.}}

{{TODO<tex> \int\limits_E |t = дописать: чего-нить по теме}}f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдера для интегралов.<tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex> — неравенство Минковского для интегралов (полуаддитивность).

<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.  {{Теорема|statement=<tex> L_p(E) </tex> — линейное пространство.}} {{Теорема|statement=<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — нормированное пространство.}} {TODO{Теорема|t about= дописать: чего-нить по темео полноте|statement=<tex> L_p(E) </tex> — полное.}}

{{TODOТеорема|t statement= дописать: чего-нить по темеИзмеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=}}  {{Теорема|statement=Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=}}

{{TODOОпределение|t definition= дописатьПусть <tex> E \subset \mathbb R^n, f : чегоE \to \mathbb R_+, f </tex> — измерима.<br> <tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — '''подграфик функции'''.}} Если <tex> f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 </tex> на <tex> E </tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbb R^{n + 1} </tex>. {{Утверждение|statement=<tex> G </tex> -нить по темецилиндр высоты <tex>c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.}}

{{TODOТеорема|t about= дописать: чего-нить по темео мере подграфика|statement=Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>.}}

{{TODOТеорема|t statement= дописатьПусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex> Тогда: чего-нить по теме# <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.# <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.# <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 </tex>}}

{{TODOТеорема|t author=Фубини|statement= дописатьПусть <tex> E \subset \mathbb R^2, f: чегоE \to \mathbb R </tex> — измерима. <tex> \int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty </tex> (<tex> f </tex> — суммируема). Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)}} =42. Восстановление первообразной по ограниченной производной= {{Теорема|statement= Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> -нить измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex>}} =43. Критерий Лебега интегрируемости по темеРиману= {{Теорема|author=Лебег|statement=<tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex>}}