Изменения
→41. Критерий Лебега интегрируемости по Риману
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом'''множеств из <tex>X</tex>, если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно дополнения)# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap cup C \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно объединения)
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения объединения счетного числа множеств
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-аддитивность)
}}
===Два важных свойства на полукольце:===
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)
}}
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
=23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции=
}}
{{Определение
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup\int\limits_{Ee}fd\mu < +\infty</tex>}} {{Определение|definition=, где <tex> f e</tex> - '''суммируемахорошее множество''' на , то есть <tex> e \subset E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_\mu e < + \infty</tex> и , <tex> f_- f</tex>.В этом случае, - ограничена на <tex> \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- e</tex>.
}}
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
{{TODOТеорема|t statement= дописать: чего-нить по темеИзмеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=}} {{Теорема|statement=Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=}}
=38. Мера цилиндра=
Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)
}}
=42. Восстановление первообразной по ограниченной производной=
{{Теорема
|statement=
Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> - измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex>
}}
=43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману=
{{Теорема
|author=
Лебег
|statement=
<tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex>
}}
