Изменения

{{TODOОпределение|definition=Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>. }}{{Определение|definition=Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = пилим0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.}}Естественно, указанный предел должен существовать.

{{TODOТеорема|t author= пилимФробениус|statement=<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).}}

{{TODOТеорема|t author= пилимХарди|statement=<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)Тогда, если существует такое <tex> M > 0 </tex>, что <tex> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.}}

|author=Фейерв L_1

{{TODOТеорема|t statement= пилимНепрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>}}

{{TODOТеорема|t id= пилимweirstrasscont|about=обычная теорема Вейерштрасса|author=Вейерштрасс|statement=Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [a; b]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex>}}{{Теорема|author=Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.}}

|statement=Пусть в точке точка <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и регулярна, а также существуют <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, и <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>

{{TODO|t <wikitex>Уточним аддитивность интеграла:# $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = пилим}}\int\limits_a^b + \int\limits_b^c $# $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.# Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это '''неверно'''.</wikitex>

<wikitex> {{TODOУтверждение|t statement= пилимПусть $f$ и $g'$ непрерывны на $[a, b]$, и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.}}

Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации)с периодом <tex>2 \pi</tex>. Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.

Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_nS_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_nS_n(x)\| ^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>. (Какой-то бред. Должно быть: <tex>E_n(x)=\inf\limits_{t_n \in H_n} \|x-t_n\|</tex> и <tex>E_n(x)=\|x-S_n(x)\|</tex>, где <tex>H_n</tex> - пространство тригонометрических полиномов степени не выше <tex>n</Насчет последнегоtex>, т.е. <tex>H_n \subset \mathcal{H}</tex>)

|statement=<tex>x, y \in \mathcal{H} \Rightarrow \langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.

{{Определение|definition=[[Отображения|Функция]] <tex> \omega(f, h)_C : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> — [[модуль называется модулем непрерывности функции]] , если:# <tex> \omega (0) = 0 = \suplim \limits_{|t| \le hto +0} \| f,\omega(t)</tex># <tex>\cdot + omega (t) - f</tex> неубывает# <tex>\omega (\cdott_1 + t_2) \|_C = le \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h} |fomega(x_2t_1) - f+ \omega(x_1t_2)| </tex>(полуаддитивность)}}

Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.{{TODOТеорема|about=о выпуклом модуле непрерывности|statement=Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t = пилим\ge 0</tex>:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>}}

{{TODOОпределение|definition=Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t ) = пилим\frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.}}

{{TODOТеорема|t author= пилимДжексон|statement=<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) </tex>}}

<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{TODO(n+1)^p} \|t = пилим}f^{(p)}\|_C, c_p - const </tex>.

 <tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex> {{TODOТеорема|t author= пилимБернштейн|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T_n(x)|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя}}

{{TODOТеорема|t author= пилимБернштейн|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>}}

{{TODOОпределение|t definition= пилим''Явление Гиббса'' {{---}} некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции.}}

{{TODO<tex>\|s_n(f) - f\|_C \le \left(\int\limits_Q |D_n(t = пилим}})| dt + 1\right) E(f)_C</tex>

{{TODOОпределение|definition=<tex>a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br /><tex>b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t ) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.}}Если рассматривать все вещественные значения <tex> n </tex>, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.<tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz= пилим\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> - интеграл Фурье.

{{TODOУтверждение|about=признак Дини сходимости интеграла Фурье|statement=Пусть <tex>f \in L_1, s \in \mathbb{R}</tex>. Если существует <tex>\Delta > 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{|\varphi_x(t)|}{t } dt < + \infty</tex>, то <tex> s = пилим\lim\limits_{A \to \infty} I(A)</tex>.}}