Изменения
→26 Ряды Фурье в L_2 : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} \sigma_n(f, x) = s</tex>
}}
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0a; 1b]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex>
}}
{{Теорема
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}
Функции, которые надо брать: <tex> f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f), f_2(x) = f(x) - f_1(x) </tex>.
= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
<wikitex>
{{Утверждение
|statement=
Пусть $f$ и $g'$ непрерывна непрерывны на $[a, b]$ , и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
}}
= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации)с периодом <tex>2 \pi</tex>. Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}
= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_nS_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.
Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_nS_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>.(Какой-то бред. Должно быть: <tex>E_n(x)=\inf\limits_{t_n \in H_n} \|x-t_n\|</tex> и <tex>E_n(x)=\|x-S_n(x)\|</tex>, где <tex>H_n</tex> - пространство тригонометрических полиномов степени не выше <tex>n</tex>, т.е. <tex>H_n \subset \mathcal{H}</tex>)
Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>x, y \in \mathcal{H} \Rightarrow \langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}
= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>
{{Теорема
= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODOОпределение|definition=<tex>a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br /><tex>b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t ) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.}}Если рассматривать все вещественные значения <tex> n </tex>, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.<tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz= пилим\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> - интеграл Фурье.
= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
