1632
правки
Изменения
м
|proof=
Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>.
Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>.
Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>,
и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>.
Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>.
В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.
{{TODO<tex>\|s_n(f) - f\|_C \le \left(\int\limits_Q |D_n(t = пилим}})| dt + 1\right) E(f)_C</tex>
Положим для <tex>\delta>0</tex>{{Утверждение|about=признак Дини сходимости интеграла Фурье|statement=Пусть <tex>f \omega_f(tin L_1,s \delta)=\supin \limits_mathbb{s: |s-t|\leqslant \deltaR}|f(t)-f(s)|</tex>. (модуль непрерывности функции <tex>f</tex> в точке <tex>t</tex>). Если функция существует <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex\Delta >0: \int\limits_limits_0^{0+\Delta}\limits\frac{|\omega_fvarphi_x(t,\delta)\,d\delta|}{\deltat} dt <+\infty </tex>, то её ряд Фурье в точке <tex>t</tex> сходится к <tex>fs = \lim\limits_{A \to \infty} I(tA)</tex> .}}
rollbackEdits.php mass rollback
= 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство) =
{{TODOОпределение|definition=Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>. }}{{Определение|definition=Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = пилим0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.}}Естественно, указанный предел должен существовать.
= 4 Теорема Фробениуса =
= 6 Теорема Фейера =
{{Теорема
|author=Фейерв L_1
|statement=Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>,
<tex>\lim\limits_{t\to +0} \frac1t \int\limits_0^t |f(x + t) + f(x - t) - 2s| dt = 0</tex>. Тогда
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>
}}
= 9 Теорема Фейера в пространствах <tex>L_p</tex> =
{{Теорема|author=Фейер|statement=
<tex>f\in L_p \Rightarrow \|f - \sigma_n(f)\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.
}}
= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
= 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса =
{{TODOТеорема|t id= пилимweirstrasscont|about=обычная теорема Вейерштрасса|author=Вейерштрасс|statement=Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [a; b]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex>}}{{Теорема|author=Теорема Вейерштрасса в <tex>L_p</tex>|statement=<tex>f\in L_p \Rightarrow E_n(f)_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.}}
= 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из <tex>L_1</tex> =
= 14 Теорема Дини =
{{Теорема
|author=
Дини
|statement=
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2s</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>
}}
= 15 Следствие о четырех пределах =
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке точка <tex>x</tex> существует <tex>f(x \pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и регулярна, а также существуют <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, и <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
}}
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
}}
Функции, которые надо брать: <tex> f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f), f_2(x) = f(x) - f_1(x) </tex>.
= 18 Условие существования интеграла Стилтьесса =
= 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана =
<wikitex> {{TODOУтверждение|t statement= пилимПусть $f$ и $g'$ непрерывны на $[a, b]$, и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.}}
= 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f\in CV </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации)с периодом <tex>2 \pi</tex>. Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.
}}
= 26 Ряды Фурье в <tex>L_2</tex> : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя =
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>, <tex>s_nS_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>.
Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_nS_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>.(Какой-то бред. Должно быть: <tex>E_n(x)=\inf\limits_{t_n \in H_n} \|x-t_n\|</tex> и <tex>E_n(x)=\|x-S_n(x)\|</tex>, где <tex>H_n</tex> - пространство тригонометрических полиномов степени не выше <tex>n</tex>, т.е. <tex>H_n \subset \mathcal{H}</tex>)
Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>
= 27 Замкнутые и полные о.н.с. =
# ОНС {{---}} замкнута: (<tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0) \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>x, y \in \mathcal{H} \Rightarrow \langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
}}
= 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности =
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.{{TODOТеорема|about=о выпуклом модуле непрерывности|statement=Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t = пилим\ge 0</tex>:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>}}
= 35 Модуль непрерывности в пространстве <tex> C </tex> =
{{Определение
|definition=
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как <tex> d_n(t) = \frac1frac3{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 </tex>, <tex> d_n(t) \in H_{2n-2} </tex>.
}}
= 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов =
<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>
{{Теорема
= 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега =
= 44 Частный интеграл Фурье =
{{TODOОпределение|definition=<tex>a(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>. <br /><tex>b(f, z) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t ) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>.}}Если рассматривать все вещественные значения <tex> n </tex>, а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.<tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz= пилим\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> - интеграл Фурье.
= 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье =
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
