Изменения
→21 Топология векторных пространств.
|id=defms
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow to \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
|id=defint
|definition=
'''Замыкание Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
}}
принцип вложенных шаров
|statement=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptysetvarnothing</tex>, и состоит из одной точки.
}}
= 3 Теорема Бэра о категориях. =
{{Определение
|definition=
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''', если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
}}
{{Теорема
|author=Бэр
|definition=
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow iff x = \mathrm{0}</tex>
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow to a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow to a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow implies \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow to x</tex>, <tex>y_n \rightarrow to y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow to \alpha</tex>.
Тогда:
# <tex>x_n + y_n \rightarrow to x + y</tex># <tex>\alpha_n x_n \rightarrow to \alpha x</tex># <tex>\|x_n\| \rightarrow to \|x\|</tex>
}}
}}
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
{{Определение
|about=о почти перпендикуляре
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{- --}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)
}}
|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве
|statement=
Если <tex>X</tex> {{- --}} бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.
|proof=
Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>.
= 10 Банаховы пространства на примерах <tex>C [0,1]</tex> и <tex>L_p(E)</tex>. =
= 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца. =
= 13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя. =
{{Утверждение
|statement = Пусть <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> (причем он может быть расходящимся), <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>
тогда: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
}}
{{Теорема
|author=
неравенство Бесселя
|statement=
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2</tex>, где <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H </tex> {{- --}} ортонормированная система точек
}}
|definition=
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition=
'''Гильбертово пространство''' сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.
}}
{{TODO|t= взято от сюда:http://www.nsu.ru/education/funcan/node89.html проверить на правду}}
{{Теорема
|about=
критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве
|statement=
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное гильбертово пространство и <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{---}} ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны:
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> полна
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> замкнута
# <tex>\forall x \in H </tex> справедливо разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \lambda_n e_n</tex>, где <tex>\lambda_n = (x, e_n)</tex> {{---}} коэффициенты Фурье вектора <tex>x</tex> относительно ортонормированной системы <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex>
}}
= 15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля. =
{{Теорема
|about=
равенство Парсеваля
|statement=
<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.
}}
{{Теорема
|author=Рисс-Фишер
|statement=
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{--- }} ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2</tex>
}}
= 16 Наилучшее приближение в <tex>H</tex> для случая выпуклого,замкнутого множества, <tex>H = H_1 \oplus H_2</tex>. =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>M</tex> — выпуклое замкнутое множество в <tex>H</tex>, тогда <tex>\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|</tex>. <tex>z</tex> называется '''элементом наилучшего приближения'''
}}
{{Определение
|definition=
Говорят, что два элемента <tex> x, y </tex> гильбертова пространства <tex> H </tex> '''перпендикулярны''' (<tex> x \perp y </tex>), если <tex> \langle x, y \rangle = 0. </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>H_1</tex> — подпространство в <tex>H</tex>, тогда '''ортогональным дополнением''' называется <tex>H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}</tex>.
}}
= 17 Разложение гильбертова пространства в прямую сумму подпространств. =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.
}}
= 17 18 Счетно-нормированные пространства, метризуемость. =
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>p_1 \dots p_n \dots</tex> — полунормы. Если для <tex>\forall x \in X</tex> из того, что <tex>\forall k: p_k(x) = 0</tex> следует, что <tex>x = 0</tex>, то <tex>X</tex> называют '''счетно-нормированным пространством'''
}}
}}
= 18 19 Условие нормируемости СНТП. =
<wikitex>
{{Определение
</wikitex>
= 19 20 Функционал Минковского. =
<wikitex>
{{Определение
{{Определение
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство, $M\mu$ — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\mu\}$.
}}
</wikitex>
= 20 21 Топология векторных пространств. =<wikitex>
{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $<math> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$</math> * непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 ) \forall y \in U(y_0) \Rightarrow implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.
}}
= 21 22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП. =
{{Теорема
|author=Колмогоров
}}
= 22 23 Коразмерность ядра линейного функционала. =
{{Определение
|id=linfuncdef
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(xy)</tex>.
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.
|statement=
Если <tex> f </tex> не является тождественно равным нулю, то <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
}}
= 23 24 Непрерывный линейный функционал и его норма. =
{{Определение
|id=contfuncdef
Пусть <tex>X</tex> — нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.
}}
Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex>
Введем норму в <tex> X^* </tex>: <tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>
{{Утверждение
|id=cont0
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
}}
= 25 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра. =
{{Определение
|id=finitefuncdef
|definition=
<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.
}}
{{Утверждение
|id=cont-finite
}}
= 25 26 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП. ={{Утверждение|id= 26 densefunextension|statement= Пусть <tex> Y </tex> — линейное всюду плотное в <tex> X </tex> множество.<tex> f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> Y </tex>. Тогда существует единственный <tex> \widetilde f </tex> — линейный непрерывный функционал на <tex> X </tex> такой, что: 1) <tex> \widetilde f |_Y = f </tex> — сужение на <tex> Y </tex> совпадает с <tex> f </tex>.2) <tex> \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y </tex>}} = 27 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай). =
{{Теорема
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow to \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{- --}} нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{- --}} нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \rightarrow to x_0} Ax = Ax_0</tex>.}} {{Определение|definition='''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
}}
= 30 Продолжение линейного оператора по непрерывности. =
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \to Z</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
Тогда <tex>\exists! B: X \to Z</tex>:
# <tex>B|_Y = A</tex>
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
}}
= 31 Полнота пространства <tex>L(X,Y)</tex>. =
Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} банахово, тогда <tex>L(X, Y)</tex> тоже банахово.
}}
= 32 Теорема Банаха-Штейнгауза. =
{{Определение
= 34 Условие непрерывной обратимости лин. оператора. =
{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>, причем <tex>A^{-1}</tex> должен быть определен на всем <tex>Y</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратимна <tex>R(A)</tex>.
}}
= 35 Теорема Банаха о непрерывной обратимости <tex>I-C</tex>. =
{{Теорема
|author=Банах
{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество таких <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}
|about=непустота спектра ограниченного оператора
|statement=
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \emptysetvarnothing</tex>
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
