Изменения
→21 Топология векторных пространств.
|id=defint
|definition=
'''Замыкание Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
}}
= 10 Банаховы пространства на примерах <tex>C [0,1]</tex> и <tex>L_p(E)</tex>. =
= 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца. =
Пусть <tex>LH</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex>LH</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>(x, y) = (y, x)</tex>
= 13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя. =
{{Утверждение
|statement = Пусть <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> (причем он может быть расходящимся), <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>
тогда: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
}}
{{Теорема
|author=
|definition=
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition=
'''Гильбертово пространство''' сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.
}}
{{TODO|t= взято от сюда:http://www.nsu.ru/education/funcan/node89.html проверить на правду}}
{{Теорема
|about=
критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве
|statement=
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное гильбертово пространство и <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{---}} ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны:
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> полна
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> замкнута
# <tex>\forall x \in H </tex> справедливо разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \lambda_n e_n</tex>, где <tex>\lambda_n = (x, e_n)</tex> {{---}} коэффициенты Фурье вектора <tex>x</tex> относительно ортонормированной системы <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex>
}}
= 15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля. =
{{Теорема
|about=
равенство Парсеваля
|statement=
<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.
}}
{{Теорема
|author=Рисс-Фишер
|statement=
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{---}} ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2</tex>
}}
}}
= 17 Разложение гильбертова пространства в прямую сумму подпространств. ={{Теорема|statement=Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.}} = 18 Счетно-нормированные пространства, метризуемость. =
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>p_1 \dots p_n \dots</tex> — полунормы. Если для <tex>\forall x \in X</tex> из того, что <tex>\forall k: p_k(x) = 0</tex> следует, что <tex>x = 0</tex>, то <tex>X</tex> называют '''счетно-нормированным пространством'''
}}
}}
= 18 19 Условие нормируемости СНТП. =
<wikitex>
{{Определение
</wikitex>
= 19 20 Функционал Минковского. =
<wikitex>
{{Определение
{{Определение
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство, $M\mu$ — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\mu\}$.
}}
</wikitex>
= 20 21 Топология векторных пространств. =<wikitex>
{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $<math> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$</math>
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.
}}
= 21 22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП. =
{{Теорема
|author=Колмогоров
}}
= 22 23 Коразмерность ядра линейного функционала. =
{{Определение
|id=linfuncdef
|statement=
Если <tex> f </tex> не является тождественно равным нулю, то <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
}}
= 23 24 Непрерывный линейный функционал и его норма. =
{{Определение
|id=contfuncdef
Введем норму в <tex> X^* </tex>: <tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>
{{Утверждение|id= 24 cont0|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.}} = 25 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра. = {{Определение|id=finitefuncdef|definition=<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.}}
{{Утверждение
|id=cont-finite
}}
= 25 26 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП. =
{{Утверждение
|id=densefunextension
}}
= 26 27 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай). =
{{Теорема
|author=
}}
{{Утверждение
|statement=
{{Определение
|definition=
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| = \le 1} \| Ax \|</tex>.}} {{Определение|definition=Оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| \le \infty</tex>.}} {{Теорема|statement=Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
}}
= 31 Полнота пространства <tex>L(X,Y)</tex>. =
Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратимна <tex>R(A)</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество таких <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}
