Изменения
→21 Топология векторных пространств.
|id=defint
|definition=
'''Замыкание Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
}}
= 10 Банаховы пространства на примерах <tex>C [0,1]</tex> и <tex>L_p(E)</tex>. =
= 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца. =
}}
= 18 19 Условие нормируемости СНТП. =
<wikitex>
{{Определение
</wikitex>
= 19 20 Функционал Минковского. =
<wikitex>
{{Определение
</wikitex>
= 20 21 Топология векторных пространств. =<wikitex>
{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $<math> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$</math>
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.
}}
= 21 22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП. =
{{Теорема
|author=Колмогоров
}}
= 22 23 Коразмерность ядра линейного функционала. =
{{Определение
|id=linfuncdef
}}
= 23 24 Непрерывный линейный функционал и его норма. =
{{Определение
|id=contfuncdef
}}
= 24 25 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра. =
{{Определение
}}
= 25 26 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП. =
{{Утверждение
|id=densefunextension
}}
= 26 27 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай). =
{{Теорема
|author=
}}
{{Утверждение
|statement=
{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество таких <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}
