Изменения
→21 Топология векторных пространств.
= 10 Банаховы пространства на примерах <tex>C [0,1]</tex> и <tex>L_p(E)</tex>. =
<tex>C[a,b]</tex> - семейство функций <tex>f</fextex>, непрерывных на [a,b] с равномерной сходимостью является Банаховым пространством.<p><tex>L_p(E) </tex> = {сем-во функций f - изм. на E | integral( |f|^p ) < +infinity} </tex> - тоже Банахово пр-во
док-во, видимо, было как упражнение
= 21 Топология векторных пространств. =
{{Определение
|definition=
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $<math> U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$</math>
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.
}}
= 22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП. =
