Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(3 Теорема Бэра о категориях.)
(21 Топология векторных пространств.)
 
(не показано 29 промежуточных версий 14 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
|id=defms
 
|id=defms
 
|definition=
 
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
+
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \to \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
 
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0  \iff x = y </tex>
 
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0  \iff x = y </tex>
 
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>  
 
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>  
Строка 14: Строка 14:
 
|id=defint
 
|id=defint
 
|definition=
 
|definition=
'''Замыкание (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
+
'''Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
 
}}
 
}}
  
Строка 22: Строка 22:
 
принцип вложенных шаров
 
принцип вложенных шаров
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и состоит из одной точки.
+
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \varnothing</tex>, и состоит из одной точки.
 
}}
 
}}
  
Строка 63: Строка 63:
 
|definition=
 
|definition=
 
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
 
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}</tex>
+
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}</tex>
 
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
 
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
 
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
 
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
Строка 71: Строка 71:
 
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
 
В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.
  
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \rightarrow a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
+
Например, если <tex>E \subset X</tex>, <tex>a</tex> — предельная точка множества <tex>E</tex>, <tex>f \colon E \to Y</tex> (где <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> — нормированные пространства), то <tex>A</tex> называется пределом функции <tex>f</tex> при <tex>x \to a</tex> и обозначается <tex>\lim\limits_{x \to a} f(x)</tex>, если для любого положительного <tex>\varepsilon</tex> найдётся <tex>\delta > 0</tex>, для которого выполняется следствие <tex>0 < \|x - a\| < \delta \implies \|f(x) - A\| < \varepsilon</tex>.
  
 
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
 
Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.
Строка 77: Строка 77:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
+
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \to x</tex>, <tex>y_n \to y</tex>, <tex>\alpha_n \to \alpha</tex>.
  
 
Тогда:
 
Тогда:
# <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>
+
# <tex>x_n + y_n \to x + y</tex>
# <tex>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex>
+
# <tex>\alpha_n x_n \to \alpha x</tex>
# <tex>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>
+
# <tex>\|x_n\| \to \|x\|</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 91: Строка 91:
 
}}
 
}}
  
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
+
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 119: Строка 119:
 
|about=о почти перпендикуляре
 
|about=о почти перпендикуляре
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> - собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)
+
Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{---}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)
 
}}
 
}}
  
Строка 125: Строка 125:
 
|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве
 
|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>X</tex> - бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.
+
Если <tex>X</tex> {{---}} бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.
 
|proof=
 
|proof=
 
Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>.
 
Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>.
Строка 135: Строка 135:
  
 
= 10 Банаховы пространства на примерах <tex>C [0,1]</tex> и <tex>L_p(E)</tex>. =
 
= 10 Банаховы пространства на примерах <tex>C [0,1]</tex> и <tex>L_p(E)</tex>. =
Чо-то не нашёл, где это и что именно сюда надо пилить
+
<tex>C[a,b]</tex> - семейство функций <tex>f</tex>, непрерывных на [a,b] с равномерной сходимостью является Банаховым пространством.
 +
<p>
 +
<tex>L_p(E)</tex> = {сем-во функций f - изм. на E | integral( |f|^p ) < +infinity} - тоже Банахово пр-во
 +
док-во, видимо, было как упражнение
  
 
= 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца. =
 
= 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца. =
Строка 168: Строка 171:
  
 
= 13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя. =
 
= 13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя. =
 +
{{Утверждение
 +
|statement = Пусть <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> (причем он может быть расходящимся), <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>
 +
тогда: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
 +
}}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
Строка 174: Строка 182:
 
неравенство Бесселя
 
неравенство Бесселя
 
|statement=
 
|statement=
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2</tex>, где <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H </tex> - ортонормированная система точек
+
<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2</tex>, где <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H </tex> {{---}} ортонормированная система точек
 
}}
 
}}
  
Строка 181: Строка 189:
 
|definition=
 
|definition=
 
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.
 
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Гильбертово пространство''' сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.
 +
}}
 +
 +
{{TODO|t= взято от сюда:http://www.nsu.ru/education/funcan/node89.html проверить на правду}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное гильбертово пространство и <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{---}} ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны:
 +
 +
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> полна
 +
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> замкнута
 +
# <tex>\forall x \in H </tex> справедливо разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \lambda_n e_n</tex>, где <tex>\lambda_n = (x, e_n)</tex> {{---}} коэффициенты Фурье вектора <tex>x</tex> относительно ортонормированной системы <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex>
 
}}
 
}}
  
 
= 15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля. =
 
= 15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля. =
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
равенство Парсеваля
 +
|statement=
 +
<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.
 +
}}
 +
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Рисс-Фишер
 
|author=Рисс-Фишер
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2</tex>
+
Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{---}} ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 205: Строка 238:
 
}}
 
}}
  
= 17 Счетно-нормированные пространства, метризуемость. =
+
= 17 Разложение гильбертова пространства в прямую сумму подпространств. =
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
= 18 Счетно-нормированные пространства, метризуемость. =
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>p_1 \dots p_n \dots</tex> — полунормы. Если для <tex>x \in X</tex> из того, что <tex>\forall k: p_k(x) = 0</tex> следует, что <tex>x = 0</tex>, <tex>X</tex> называют '''счетно-нормированным пространством'''
+
Пусть <tex>X</tex> — линейное пространство, <tex>p_1 \dots p_n \dots</tex> — полунормы. Если <tex>\forall x \in X</tex> из того, что <tex>\forall k: p_k(x) = 0</tex> следует, что <tex>x = 0</tex>, то <tex>X</tex> называют '''счетно-нормированным пространством'''
 
}}
 
}}
  
Строка 216: Строка 255:
 
}}
 
}}
  
= 18 Условие нормируемости СНТП. =
+
= 19 Условие нормируемости СНТП. =
 
<wikitex>
 
<wikitex>
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 229: Строка 268:
 
</wikitex>
 
</wikitex>
  
= 19 Функционал Минковского. =
+
= 20 Функционал Минковского. =
 
<wikitex>
 
<wikitex>
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 242: Строка 281:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть $X$ — линейное пространство, $M$ — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\}$.
+
Пусть $X$ — линейное пространство, $\mu$ — радиальное подмножество, тогда '''функционал Минковского''' $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\}$.
 
}}
 
}}
 
</wikitex>
 
</wikitex>
  
= 20 Топология векторных пространств. =
+
= 21 Топология векторных пространств. =
<wikitex>
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
 
'''Топологическое векторное пространство''' — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0): |\alpha - \alpha_0| < \varepsilon, x \in U(x_0) \Rightarrow \alpha x \in U(\alpha_0 x_0)$
+
* непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует <math> U(x_0): | \alpha - \alpha_0 | < \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) </math>
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0 \forall y \in U(y_0) \Rightarrow x + y \in U(x_0 + y_0)$.
+
* непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.
 
}}
 
}}
</wikitex>
 
  
= 21 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП. =
+
= 22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП. =
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Колмогоров
 
|author=Колмогоров
Строка 263: Строка 300:
 
}}
 
}}
  
= 22 Коразмерность ядра линейного функционала. =
+
= 23 Коразмерность ядра линейного функционала. =
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=linfuncdef
 
|id=linfuncdef
 
|definition=
 
|definition=
 
Пусть <tex>X</tex> ­— линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если  
 
Пусть <tex>X</tex> ­— линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если  
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \  \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)</tex>.
+
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \  \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)</tex>.
  
 
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.
 
Обозначим <tex>X^*</tex> — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве <tex>X</tex>.
Строка 303: Строка 340:
 
|statement=
 
|statement=
  
<tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>
+
Если <tex> f </tex> не является тождественно равным нулю, то <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
 
}}
 
}}
  
= 23 Непрерывный линейный функционал и его норма. =
+
= 24 Непрерывный линейный функционал и его норма. =
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=contfuncdef
 
|id=contfuncdef
Строка 317: Строка 354:
 
Введем норму в <tex> X^* </tex>: <tex> \| f \|  \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>
 
Введем норму в <tex> X^* </tex>: <tex> \| f \|  \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>
  
= 24 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра. =
+
{{Утверждение
 +
|id=cont0
 +
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
 +
}}
 +
 
 +
= 25 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра. =
 +
 
 +
{{Определение
 +
|id=finitefuncdef
 +
|definition=
 +
<tex> f </tex> ­— '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.
 +
}}
 +
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|id=cont-finite
 
|id=cont-finite
Строка 329: Строка 378:
 
}}
 
}}
  
= 25 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП. =
+
= 26 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП. =
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|id=densefunextension
 
|id=densefunextension
Строка 339: Строка 388:
 
}}
 
}}
  
= 26 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай). =
+
= 27 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай). =
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
 
Хан, Банах
 
Хан, Банах
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \to \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
+
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \to \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
 
}}
 
}}
  
= 27 Два следствия из теоремы Хана-Банаха. =
+
Два следствия из теоремы Хана-Банаха.
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
 
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
 
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
 
}}
 
}}
Строка 375: Строка 424:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \rightarrow x_0} Ax = Ax_0</tex>.
+
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| = 1} \| Ax \|</tex>.
+
Оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| \le \infty</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
 
}}
 
}}
  
Строка 386: Строка 445:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> - линейное пространство, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \rightarrow Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
+
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \to Z</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
Тогда <tex>\exists B: X \rightarrow Z</tex>:
+
Тогда <tex>\exists! B: X \to Z</tex>:
 
# <tex>B|_Y = A</tex>
 
# <tex>B|_Y = A</tex>
 
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
 
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
Строка 393: Строка 452:
  
 
= 31 Полнота пространства <tex>L(X,Y)</tex>. =
 
= 31 Полнота пространства <tex>L(X,Y)</tex>. =
Обычно пространство линейных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
+
Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 440: Строка 499:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
 
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим.
+
Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим на <tex>R(A)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 493: Строка 552:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
+
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество таких <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 523: Строка 582:
 
|about=непустота спектра ограниченного оператора
 
|about=непустота спектра ограниченного оператора
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \emptyset</tex>
+
<tex>\|A\| < +\infty \implies \sigma(A) \ne \varnothing</tex>
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Текущая версия на 01:34, 21 января 2019

Содержание

1 Определение МП, замыкание в МП.[править]

Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \to \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы
  1. [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
  3. [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника
Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.


Определение:
Замыканием (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.


2 Принцип вложенных шаров в полном МП.[править]

Утверждение (принцип вложенных шаров):
Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \varnothing[/math], и состоит из одной точки.

3 Теорема Бэра о категориях.[править]

Определение:
Подмножество [math]A[/math] топологического пространства [math]X[/math] имеет I категорию по Бэру в пространстве [math]X[/math], если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в [math]X[/math] множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.


Теорема (Бэр):
Полное МП является множеством II категории в себе.

4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП.[править]

Теорема (Хаусдорф):
Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

5 Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.[править]

  • [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
    • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
    • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
    • вторая аксиома: еще очевиднее
    • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:
Утверждение:
[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]
Утверждение:
Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.

6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.[править]

Определение:
Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется:
  1. [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}[/math]
  2. [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math]
  3. [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math]
Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.


В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.

Например, если [math]E \subset X[/math], [math]a[/math] — предельная точка множества [math]E[/math], [math]f \colon E \to Y[/math] (где [math]X[/math] и [math]Y[/math] — нормированные пространства), то [math]A[/math] называется пределом функции [math]f[/math] при [math]x \to a[/math] и обозначается [math]\lim\limits_{x \to a} f(x)[/math], если для любого положительного [math]\varepsilon[/math] найдётся [math]\delta \gt 0[/math], для которого выполняется следствие [math]0 \lt \|x - a\| \lt \delta \implies \|f(x) - A\| \lt \varepsilon[/math].

Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.

Утверждение:
Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \to x[/math], [math]y_n \to y[/math], [math]\alpha_n \to \alpha[/math].

Тогда:

  1. [math]x_n + y_n \to x + y[/math]
  2. [math]\alpha_n x_n \to \alpha x[/math]
  3. [math]\|x_n\| \to \|x\|[/math]

7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.[править]

Определение:
Нормы [math]\| \|_1[/math], [math]\| \|_2[/math] эквивалентны, если существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math]. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).


Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: [math]x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math].


Определение:
Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].


Теорема (Рисс):
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.[править]

Определение:
Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.


Теорема:
Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подмножество в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].

9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.[править]

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):
Пусть [math]X[/math] — НП, а [math]Y[/math] — собственное (то есть не совпадающее с [math]X[/math]) подпространство [math]X[/math], тогда [math]\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|[/math])
Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):
Если [math]X[/math] — бесконечномерное НП, то единичный шар [math]S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}[/math] в нем не компактен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in S_1[/math], [math]Y_1 = \mathcal{L}(x_1)[/math] — собственное подпространство [math]X[/math], применим лемму Рисса, возьмем [math]\varepsilon = {1 \over 2}[/math], существует [math]x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}[/math], заметим, что [math]x_2[/math] окажется в [math]S_1[/math].

[math]Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)[/math], опять применим лемму Рисса, существует [math]x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2[/math], [math]x_3[/math] будет в [math]S_1[/math].

Продолжаем так же для [math]Y_3 \dots Y_n \dots[/math]. Процесс никогда не завершится, так как [math]X[/math] — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в [math]S_1[/math], но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как [math]\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}[/math], следовательно, [math]S_1[/math] не компактно.
[math]\triangleleft[/math]

10 Банаховы пространства на примерах [math]C [0,1][/math] и [math]L_p(E)[/math].[править]

[math]C[a,b][/math] - семейство функций [math]f[/math], непрерывных на [a,b] с равномерной сходимостью является Банаховым пространством.

[math]L_p(E)[/math] = {сем-во функций f - изм. на E | integral( |f|^p ) < +infinity} - тоже Банахово пр-во док-во, видимо, было как упражнение

11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.[править]

Пусть [math]H[/math] — линейное пространство. Величина [math](x, y) \in \mathbb R[/math] называется скалярным произведением точек множества [math]H[/math], если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

  1. [math](x, x) \ge 0[/math], [math](x, x) = 0 \iff x = 0[/math]
  2. [math](x, y) = (y, x)[/math]
  3. [math](\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)[/math]

Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:

Утверждение:
[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

//не нашёл этого в конспектах, беру с википедии

Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства [math]H[/math] среди прочих банаховых пространств, является равенство параллелограмма: [math]\forall x,y\in H\ \quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)[/math]

12 Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.[править]

Пусть [math]X[/math]нормированное пространство, к примеру, [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math] (тригонометрических полиномов степени не больше [math]n[/math]).


Определение:
Для любого [math] x \in X[/math] величина [math]E_Y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y^* \in Y[/math] такой, что [math]E_Y(x)=\|x-y^*\|[/math], то этот [math]y^*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]x[/math].


Теорема:
Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]\dim Y \lt +\infty[/math], тогда [math]\forall x \in X[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]x[/math].

13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.[править]

Утверждение:
Пусть [math]x\in\mathcal{H}[/math], [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math] (причем он может быть расходящимся), [math]s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j[/math] тогда: [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2[/math], [math]\alpha_k \in \mathbb{R}[/math]
Теорема (Бессель, неравенство Бесселя):
[math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2[/math], где [math]e_1 \dots e_n \dots \in H [/math] — ортонормированная система точек

14 Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.[править]

Определение:
Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.


Определение:
Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.


TODO: взято от сюда:http://www.nsu.ru/education/funcan/node89.html проверить на правду

Теорема (критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве):
Пусть [math]H[/math] — сепарабельное гильбертово пространство и [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] — ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны:
  1. система [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] полна
  2. система [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] замкнута
  3. [math]\forall x \in H [/math] справедливо разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \lambda_n e_n[/math], где [math]\lambda_n = (x, e_n)[/math] — коэффициенты Фурье вектора [math]x[/math] относительно ортонормированной системы [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math]

15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.[править]

Теорема (равенство Парсеваля):
[math]\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 [/math] тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.
Теорема (Рисс-Фишер):
Пусть [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] — ортонормированная система в гильбертовом пространстве [math]H[/math], [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \lt +\infty[/math]. Тогда [math]\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle[/math] и выполняется равенство Парсеваля: [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2[/math]

16 Наилучшее приближение в [math]H[/math] для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H = H_1 \oplus H_2[/math].[править]

Теорема:
Пусть [math]M[/math] — выпуклое замкнутое множество в [math]H[/math], тогда [math]\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|[/math]. [math]z[/math] называется элементом наилучшего приближения
Определение:
Говорят, что два элемента [math] x, y [/math] гильбертова пространства [math] H [/math] перпендикулярны ([math] x \perp y [/math]), если [math] \langle x, y \rangle = 0. [/math]


Определение:
Пусть [math]H_1[/math] — подпространство в [math]H[/math], тогда ортогональным дополнением называется [math]H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}[/math].


17 Разложение гильбертова пространства в прямую сумму подпространств.[править]

Теорема:
Пусть [math] H_1 [/math] — подпространство в [math]H[/math], [math] H_2 [/math] — его ортогональное дополнение. Тогда для любого [math] x \in H [/math] существует единственное представление [math] x = x_1 + x_2 [/math], где [math] x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 [/math] и [math] x_1 \perp x_2 [/math].

18 Счетно-нормированные пространства, метризуемость.[править]

Определение:
Пусть [math]X[/math] — линейное пространство, [math]p_1 \dots p_n \dots[/math] — полунормы. Если [math]\forall x \in X[/math] из того, что [math]\forall k: p_k(x) = 0[/math] следует, что [math]x = 0[/math], то [math]X[/math] называют счетно-нормированным пространством


Утверждение:
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math]: [math]\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}[/math].

19 Условие нормируемости СНТП.[править]

<wikitex>

Определение:
Полунорма $p_n$ в системе $p$ существенна, если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.
Теорема (критерий нормируемости счетно-нормированного пространства):
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.

</wikitex>

20 Функционал Минковского.[править]

<wikitex>

Определение:
$A$ поглощает $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda:


Определение:
$A$ радиальное/поглощающее, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.


Определение:
Пусть $X$ — линейное пространство, $\mu$ — радиальное подмножество, тогда функционал Минковского $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\}$.

</wikitex>

21 Топология векторных пространств.[править]

Определение:
Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть:
  • непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует [math] U(x_0): | \alpha - \alpha_0 | \lt \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) [/math]
  • непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.


22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.[править]

Теорема (Колмогоров):
Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.

23 Коразмерность ядра линейного функционала.[править]

Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math]линейный функционал, если

[math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)[/math].

Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math]ядро функционала.


Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math].

Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]:

[math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math]

[math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math]классы смежности по [math]Y[/math].

[math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор-множество по [math]Y[/math].


Определение:
[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math]коразмерность [math]Y[/math]. [math] Y [/math]гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].


Утверждение (Коразмерность ядра функционала):
Если [math] f [/math] не является тождественно равным нулю, то [math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math].

24 Непрерывный линейный функционал и его норма.[править]

Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— нормированное пространство. Линейный функционал [math] f \in X^* [/math]непрерывен в точке [math] x [/math], если [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) [/math].

Обозначение [math] \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} [/math]

Введем норму в [math] X^* [/math]: [math] \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} [/math]

Утверждение:
Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] непрерывен в нуле.

25 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.[править]

Определение:
[math] f [/math] ­— ограниченный функционал, если [math] \| f \| \lt \infty [/math].


Утверждение:
[math]f[/math] — непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] ­— ограничен.
Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра):
[math]f[/math] — ограничен [math]\iff \mathrm{Ker}\, f[/math] — замкнуто в [math]X[/math].

26 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.[править]

Утверждение:
Пусть [math] Y [/math] — линейное всюду плотное в [math] X [/math] множество.

[math] f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] Y [/math]. Тогда существует единственный [math] \widetilde f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] X [/math] такой, что:

1) [math] \widetilde f |_Y = f [/math] — сужение на [math] Y [/math] совпадает с [math] f [/math].

2) [math] \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y [/math]

27 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).[править]

Теорема (Хан, Банах):
Пусть [math]X[/math]сепарабельное нормированное пространство, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math], [math]f: Y \to \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math], [math]\|g\| = \|f\|[/math].

Два следствия из теоремы Хана-Банаха.

Утверждение:
Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда [math]\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1[/math].
Утверждение:
Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — линейно независимый набор в [math]X[/math]. Тогда в [math]X[/math] существует биортогональная система функционалов [math]f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}[/math]

28 Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в [math]H[/math].[править]

Теорема (Рисс, об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве):
[math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math], причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]

29 Непрерывный линейный оператор и его норма.[править]

Определение:
Оператор [math]A[/math] называется линейным, если [math]A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)[/math].


Определение:
Оператор [math]A[/math] непрерывен в точке [math]x_0[/math], если [math]\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0[/math].


Определение:
Нормой оператора [math]A[/math] называется [math]\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|[/math].


Определение:
Оператор [math]A[/math] ограничен, если [math]\|A\| \le \infty[/math].


Теорема:
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

30 Продолжение линейного оператора по непрерывности.[править]

Теорема:
Пусть [math]Y[/math] — линейное пространство, [math]Cl Y = X[/math], [math]A: Y \to Z[/math] — линейный ограниченный оператор, [math]Z[/math] — банахово.

Тогда [math]\exists! B: X \to Z[/math]:

  1. [math]B|_Y = A[/math]
  2. [math]\|B\| = \|A\|[/math]

31 Полнота пространства [math]L(X,Y)[/math].[править]

Обычно пространство линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math] обозначают как [math]L(X, Y)[/math].

Теорема:
Пусть [math]Y[/math] — банахово, тогда [math]L(X, Y)[/math] тоже банахово.

32 Теорема Банаха-Штейнгауза.[править]

Определение:
Последовательность [math]A_n[/math] поточечно ограничена, если [math]\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \lt +\infty[/math].


Определение:
Последовательность [math]A_n[/math] равномерно ограничена, если [math]\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \lt +\infty[/math].


Теорема (Банах, Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности):
Пусть [math]X[/math] — банахово, [math]A_n \in L(X, Y)[/math], [math]A_n[/math] поточечно ограничена. Тогда [math]A_n[/math] равномерно ограничена.

33 Условие замкнутости множества значений линейного оператора на базе априорной оценки решения операторного уравнения.[править]

Определение:
Рассмотрим уравнение [math] Ax = y [/math] при заданном [math] y [/math]. Если для такого уравнения можно написать [math] \| x \| \le \alpha \| y \| [/math], где [math] \alpha [/math] — константа, то говорят, что это уравнение допускает априорную оценку решений.


Утверждение:
Если [math] A [/math] непрерывен, и уравнение [math] Ax = y [/math] допускает априорную оценку решений, то [math] R(A) = \mathrm{Cl} R(A) [/math].

34 Условие непрерывной обратимости лин. оператора.[править]

Определение:
Оператор [math] A : X \to Y [/math] называется непрерывно обратимым, если существует [math] A^{-1} : Y \to X [/math] и [math] \| A^{-1} \| \lt \infty [/math], причем [math]A^{-1}[/math] должен быть определен на всем [math]Y[/math].


Теорема:
Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, и [math]\exists m \gt 0: m \| x \| \le \| Ax \| [/math]. Тогда [math] A [/math] непрерывно обратим на [math]R(A)[/math].

35 Теорема Банаха о непрерывной обратимости [math]I-C[/math].[править]

Теорема (Банах, о непрерывной обратимости I-C):
Пусть [math] X [/math] — B-пространство, оператор [math] C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) [/math] и [math] \| C \| \lt 1 [/math]. Тогда оператор [math] I - C [/math], где [math] I [/math] — тождественный оператор, непрерывно обратим.

36 Лемма о множествах [math]X_n = {||Ax|| \lt n ||x||}[/math].[править]

Утверждение:
Рассмотрим линейный оператор [math] A : X \to Y [/math]. Обозначим [math] X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} [/math]. Тогда хотя бы одно [math] X_n [/math] всюду плотно в [math] X [/math].

37 Теорема Банаха об обратном операторе.[править]

Теорема (Банаха, о гомеоморфизме):
Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда [math] A^{-1} [/math] — линейный ограниченный оператор.

38 Теорема о замкнутом графике.[править]

Определение:
Графиком линейного оператора [math] A: X \to Y [/math] называется множество [math] G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y [/math].


Теорема (о замкнутом графике):
Линейный [math]A : X \to Y [/math] ограничен [math] \iff [/math] [math] G(A) [/math] — замкнут.

39 Теорема об открытом отображении.[править]

Определение:
[math] F : X \to Y [/math] — произвольное отображение. Если для любого открытого [math] G \subset X [/math] [math] F(G) [/math] открыто в [math] Y [/math], то [math] F [/math] называют открытым отображением.


Теорема (об открытом отображении):
Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор. Тогда [math] A [/math] — открытое отображение.

40 Теорема о резольвентном множестве.[править]

Определение:
Рассмотрим некоторое [math]\lambda \in \mathbb C[/math]. Если для него существует и непрерывен оператор [math]R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}[/math] ([math]I[/math] — единичный оператор), то он называется резольвентой. Множество таких [math]\lambda[/math], для которых существует [math]R_\lambda[/math], обозначается [math]\rho(A)[/math], и называется резольвентным множеством, дополнение к нему обозначается [math]\sigma(A)[/math] и называется спектром оператора [math]A[/math].


Утверждение (замкнутость спектра):
[math]\rho(A)[/math] — открытое множество в [math]\mathbb C[/math];

41 Теорема о спектральном радиусе.[править]

Определение:
[math]r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A^n\|}[/math] — спектральный радиус оператора.


Утверждение:
[math]r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}[/math]

42 Аналитичность резольвенты.[править]

Утверждение (аналитичность резольвенты в резольвентном множестве):
[math]R_\lambda[/math] как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в [math]\rho(A)[/math] и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.

43 Непустота спектра ограниченного оператора.[править]

Теорема (непустота спектра ограниченного оператора):
[math]\|A\| \lt +\infty \implies \sigma(A) \ne \varnothing[/math]