Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр

1 Определение МП, замыкание в МП.

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.

Определение:

Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.

2 Принцип вложенных шаров в полном МП.

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset[/math], и состоит из одной точки.

3 Теорема Бэра о категориях.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП.

Теорема (Хаусдорф):

Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

5 Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.

• [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:

Утверждение:

[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]

Утверждение:

Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.

6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.

Определение:

Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется: [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}[/math] [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math] [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math] Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.

В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.

Например, если [math]E \subset X[/math], [math]a[/math] — предельная точка множества [math]E[/math], [math]f \colon E \to Y[/math] (где [math]X[/math] и [math]Y[/math] — нормированные пространства), то [math]A[/math] называется пределом функции [math]f[/math] при [math]x \rightarrow a[/math] и обозначается [math]\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)[/math], если для любого положительного [math]\varepsilon[/math] найдётся [math]\delta \gt 0[/math], для которого выполняется следствие [math]0 \lt \|x - a\| \lt \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| \lt \varepsilon[/math].

Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]

7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.

Определение:

Нормы [math]\| \|_1[/math], [math]\| \|_2[/math] эквивалентны, если существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math]. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: [math]x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math].

Определение:

Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].

Теорема (Рисс):

В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.

Определение:

Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подмножество в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].

9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):

Пусть [math]X[/math] — НП, а [math]Y[/math] - собственное (то есть не совпадающее с [math]X[/math]) подпространство [math]X[/math], тогда [math]\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|[/math])

Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):

Если [math]X[/math] - бесконечномерное НП, то единичный шар [math]S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}[/math] в нем не компактен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in S_1[/math], [math]Y_1 = \mathcal{L}(x_1)[/math] — собственное подпространство [math]X[/math], применим лемму Рисса, возьмем [math]\varepsilon = {1 \over 2}[/math], существует [math]x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}[/math], заметим, что [math]x_2[/math] окажется в [math]S_1[/math]. [math]Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)[/math], опять применим лемму Рисса, существует [math]x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2[/math], [math]x_3[/math] будет в [math]S_1[/math]. Продолжаем так же для [math]Y_3 \dots Y_n \dots[/math]. Процесс никогда не завершится, так как [math]X[/math] — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в [math]S_1[/math], но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как [math]\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}[/math], следовательно, [math]S_1[/math] не компактно.

[math]\triangleleft[/math]