Изменения
→14 Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.
|definition=
'''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition=
'''Гильбертово пространство''' сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.
}}
{{TODO|t= взято от сюда:http://www.nsu.ru/education/funcan/node89.html проверить на правду}}
{{Теорема
|about=
критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве
|statement=
Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное гильбертово пространство и <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> {{---}} ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны:
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> полна
# система <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> замкнута
# <tex>\forall x \in H </tex> справедливо разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \lambda_n e_n</tex>, где <tex>\lambda_n = (x, e_n)</tex> {{---}} коэффициенты Фурье вектора <tex>x</tex> относительно ортонормированной системы <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex>
}}
